Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在y轴和x轴的正半轴上，且长分别为m、4m（m＞0），D为边AB的中点，一抛物线l经过点A、D及点M（-1，-1-m）．
（1）求抛物线l的解析式（用含m的式子表示）；
（2）把△OAD沿直线OD折叠后点A落在点A′处，连接OA′并延长与线段BC的延长线交于点E，若抛物线l与线段CE相交，求实数m的取值范围；
（3）在满足（2）的条件下，求出抛物线l顶点P到达最高位置时的坐标．

Answer 1

解：（1）设抛物线l的解析式为y=ax²+bx+c，
将A（0，m），D（2m，m），M（-1，-1-m）三点的坐标代入，
得，解得，
所以抛物线l的解析式为y=-x²+2mx+m；

（2）设AD与x轴交于点M，过点A′作A′N⊥x轴于点N．
∵把△OAD沿直线OD折叠后点A落在点A′处，
∴△OAD≌△OA′D，OA=OA′=m，AD=A′D=2m，∠OAD=∠OA′D=90°，∠ADO=∠A′DO，
∵矩形OABC中，AD∥OC，
∴∠ADO=∠DOM，
∴∠A′DO=∠DOM，
∴DM=OM．
设DM=OM=x，则A′M=2m-x，
在Rt△OA′M中，∵OA′²+A′M²=OM²，
∴m²+（2m-x）²=x²，
解得x=m．
∵S_△OA′M=OM•A′N=OA′•A′M，
∴A′N==m，
∴ON==m，
∴A′点坐标为（m，-m），
易求直线OA′的解析式为y=-x，
当x=4m时，y=-×4m=-3m，
∴E点坐标为（4m，-3m）．
当x=4m时，-x²+2mx+m=-（4m）²+2m•4m+m=-8m²+m，
即抛物线l与直线CE的交点为（4m，-8m²+m），
∵抛物线l与线段CE相交，
∴-3m≤-8m²+m≤0，
∵m＞0，
∴-3≤-8m+1≤0，
解得≤m≤；

（3）∵y=-x²+2mx+m=-（x-m）²+m²+m，≤m≤，
∴当x=m时，y有最大值m²+m，
又∵m²+m=（m+）²-，
∴当≤m≤时，m²+m随m的增大而增大，
∴当m=时，顶点P到达最高位置，m²+m=（）²+=，
故此时抛物线l顶点P到达最高位置时的坐标为（，）．
分析：（1）设抛物线l的解析式为y=ax²+bx+c，将A、D、M三点的坐标代入，运用待定系数法即可求解；
（2）设AD与x轴交于点M，过点A′作A′N⊥x轴于点N．根据轴对称及平行线的性质得出DM=OM=x，则A′M=2m-x，OA′=m，在Rt△OA′M中运用勾股定理求出x，得出A′点坐标，运用待定系数法得到直线OA′的解析式，确定E点坐标（4m，-3m），根据抛物线l与线段CE相交，列出关于m的不等式组，求出解集即可；
（3）根据二次函数的性质，结合（2）中求出的实数m的取值范围，即可求解．
点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，轴对称的性质，勾股定理，两个函数交点坐标的求法，二次函数、矩形的性质，解不等式组等知识，综合性较强，有一定难度．（2）中求出A′点的坐标是解题的关键．