Question

16．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A-C-B向点B运动，设运动时间为t秒（t＞0）
（1）在AC上是否存在点P，使得PA=PB？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
（2）若点P恰好在△ABC的角平分线上，请求出t的值，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据线段垂直平分线的性质得到PA=PB，从而分别表示出PC、BC、BP的长，利用勾股定理列出方程求解即可；
（2）当点P在顶点处时就是在角平分线上，然后再分点P在AC和∠ABC的角平分线的交点处和点P在BC和∠BAC的角平分线的交点处利用相似三角形列式求得t值即可．

解答 解：（1）如图1，设存在点P，使得PA=PB，
此时PA=PB=2t，PC=4-2t，
在Rt△PCB中，
PC²+CB²=PB²，
即：（4-2t）²+3²=（2t）²，
解得：t=$\frac{25}{16}$，
∴当t=$\frac{25}{16}$时，PA=PB；
（2）当点P在点C或点B处时，一定在△ABC的角平分线上，
此时t=2或t=3.5秒；
当点P在∠ABC的角平分线上时，作PM⊥AB于点M，如图2，
此时AP=2t，PC=PM=4-2t，
∵△APM∽△ABC，
∴AP：AB=PM：BC，
即：2t：5=（4-2t）：3，
解得：t=$\frac{5}{4}$；
当点P在∠CAB的平分线上时，作PN⊥AB，如图3，
此时BP=7-2t，PN=PC=（2t-4），
∵△BPN∽△BAC，
∴BP：BA=PN：AC，
即：（7-2t）：5=（2t-4）：4，
解得：t=$\frac{8}{3}$，
综上，当t=2s或3.5s或$\frac{8}{3}$s或$\frac{5}{4}$s时，点P在△ABC的角平分线上．

点评 本题考查了勾股定理、线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质；本题有一定难度，特别是题目的第二问，采用了分类讨论的数学思想，特别是点P与点C和点B重合时的情况很容易遗漏，应该注意．