Question

【题目】如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，∠BAD=120°，AB=AD．

（1）求证：四边形ABCD是等腰梯形；

（2）已知AC=6，求阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）4π－3

【解析】试题分析：（1）根据AB=AD，∠BAD=120°可以得到∠ABD=∠ADB=30°，从而说明弧AB和弧AD的度数为60°，根据BC为直径可以说明弧CD的度数也是60°，从而可以得到AB=CD，然后根据∠CAD=∠ACB=30°得出AD∥BC；（2）阴影部分面积利用扇形面积减去△BOD的面积．

试题解析：（1）∵∠BAD=120°，AB=AD

∴∠ABD=∠ADB=30°

∴弧AB和弧AD的度数都等于60°

又 ∵BC是直径

∴弧CD的度数也是60°

∴AB=CD

∵∠CAD=∠ACB=30°

∴BC∥AD

∴四边形ABCD是等腰梯形．

（2）∵BC是直径

∴∠BAC=90°

∵∠ACB=30°，AC=6

∴BC=

∴r=2

∵弧AB和弧AD的度数都等于60°

∴∠BOD=120°

连接OA交BD于点E，则OA⊥BD

∴OE=OB×sin30°=BE=0B×cos30°=3 BD=2BE=6

∴==4π－3．