Question

已知，如图：在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=50°，E分别为AC、AB上的点，且BE=CD，G、M、N分别为BC、BD、CE的中点．
（1）求∠MGN与∠A的度数相等吗？说明理由．
（2）判断△GMN的形状，说明理由．

Answer 1

解：（1）相等；
∵G、M、N分别为BC、BD、CE的中点，
∴GM∥CD，GN∥BE，
∴∠BGM=∠ACB=50°，∠CGN=∠ABC=70°，
∴∠MGN=180°-∠BGM-∠CGN=60°，
已知∠ABC=70°，∠ACB=50°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=60°，
∴∠MGN=∠A；

（2）等边三角形；
∵G、M、N分别为BC、BD、CE的中点，
∴GM=CD，GN=BE，
又已知BE=CD，
∴GM=GN，
∴∠GMN=∠CNM，
又∵∠MGN=60°，
∴∠GMN=∠CNM=（180°-60°）=60°，
∴∠GMN=∠CNM=∠MGN=60°，
∴△GMN为等边三角形．
分析：（1）由G、M、N分别为BC、BD、CE的中点根据三角形中位线定理可得GM∥CD，GN∥BE，继而得∠BGM=∠ACB=50°，∠CGN=∠ABC=70°，所以得∠MGN=60°，再由三角形内角和定理得∠A=60°，所以∠MGN与∠A的度数相等；
（2）由已知BE=CD，G、M、N分别为BC、BD、CE的中点，根据三角形中位线定理可得GM=GN，则得∠GMN=∠CNM，由（1）得出∠MGN=60°，再根据三角形内角和定理得出∠GMN=∠CNM=∠MGN=60°，所以得△GMN的形状为等边三角形．
点评：此题考查的知识点是三角形的内角和定理及等边三角形的判定，运用三角形中位线定理和三角形内角和定理是关键．