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【题目】如图.点DRtABC斜边BC的中点,⊙O是△ABD的外接圆,交AC于点F. DE平分∠ADC,交AC于点E.

求证:DE是⊙O的切线;

CE=4,DE=2,求⊙O的直径.

【答案】(1)证明见解析;(2)5

【解析】(1)连接BFOD,利用三角形中位线定理证明ODAC,再证明ODDE即可.

(2)先证FD垂直平分BC ,再由Rt△DFE∽Rt△CDE求出FE.

解:(1)连接BFOD

∵∠BAC=90°

BF为直径,OBF中点.

∵点DBC的中点

OD是△BFC的中位线,即ODAC.

∵点DRtABC斜边BC的中点

∴△ADC是等腰三角形

DE平分∠ADC

DEAC

ODDE,即DE是⊙O的切线

(2)连接DF.

BF为直径

FDBC

又∵点DBC的中点

FD垂直平分BCBF=FC

RtDFERtCDE

. FE=1

BF=FC=FE+EC=5

“点睛”考查了切线的判定定理,涉及的知识有,全等三角形的判定与性质,平行线的判定与性质,以及圆内接四边形的性质,切线的判定方法有两种:有点连接证垂直;无点作垂线,证明垂线段等于半径.

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