Question

13．已知抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A（m-2，0）和B（2m+1，0）（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为P，对称轴为l：x=1．
（1）求抛物线解析式．
（2）直线y=kx+2（k≠0）与抛物线相交于两点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（x₁＜x₂），当|x₁-x₂|最小时，求抛物线与直线的交点M与N的坐标．
（3）首尾顺次连接点O、B、P、C构成多边形的周长为L，若线段OB在x轴上移动，求L最小值时点O，B移动后的坐标及L的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据对称轴公式求出b的值，再根据根与系数的关系求出c的值，从而求出二次函数解析式；
（2）将一次函数与二次函数组成方程组，得到一元二次方程x²+（k-2）x-1=0，根据根与系数的关系求出k的值，进而求出M（-1，0），N（1，4）；
（3）O，B，P，C构成多边形的周长L=OB+BP+PC+CO，根据线段OB平移过程中，OB、PC长度不变，得到要使L最小，只需BP+CO最短，作点P关于x轴（或OB）对称点P′（1，-4），
连接C′P′与x轴交于点B′，然后根据平移知识和勾股定理解答．

解答 解：（1）由已知对称轴为x=1，得-$\frac{b}{2×（-1）}$=1，
∴b=2，
抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A（m-2，0）和B（2m+1，0），
即-x²+2x+c=0的解为m-2和2m+1，
（m-2）+（2m+1）=2，
3m=3，
m=1，
将m=1代入（m-2）（2m+1）=-c得，
（1-2）（2+1）=-c，
∴c=3，
∴m=1，c=3，
抛物线的解析式为y=-x²+2x+3；

（2）由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+2\\ y=-{x}^{2}+2x+3\end{array}\right.$，
∴x²+（k-2）x-1=0，
x₁+x₂=-（k-2），x₁x₂=-1，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（k-2）²+4，
∴当k=2时，（x₁-x₂）²的最小值为4，即|x₁-x₂|的最小值为2，
∴x²-1=0，由x₁＜x₂可得x₁=-1，x₂=1，即y₁=4，y₂=0，
∴当|x₁-x₂|最小时，抛物线与直线的交点为M（-1，0），N（1，4）；

（3）O（0，0），B（3，0），P（1，4），C（0，3），
O，B，P，C构成多边形的周长L=OB+BP+PC+CO，
∵线段OB平移过程中，OB、PC长度不变，
∴要使L最小，只需BP+CO最短，
如图，平移线段OC到BC′，四边形OBC′C是矩形，
∴C′（3，3），
作点P关于x轴（或OB）对称点P′（1，-4），
连接C′P′与x轴交于点B′，
设C′P′解析式为y=ax+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}a+n=-4\\ 3a+n=3\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{7}{2}\\ n=-\frac{15}{2}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{7}{2}$x-$\frac{15}{2}$，
当y=0时，x=$\frac{15}{7}$，
∴B′（$\frac{15}{7}$，0），
又3-$\frac{15}{7}$=$\frac{6}{7}$，
故点B向左平移$\frac{6}{7}$，平移到B′，
同时，点O向左平移$\frac{6}{7}$，平移到0′（-$\frac{6}{7}$，0）．
即线段OB向左平移$\frac{6}{7}$时，周长L最短，
此时，线段BP，CO之和最短为P′C′=$\sqrt{{7}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{53}$，O′B′=OB=3，CP=$\sqrt{2}$，
∴当线段OB向左平移$\frac{6}{7}$，即点O平移到O′（-$\frac{6}{7}$，0），点B平移到B′（$\frac{15}{7}$，0）时，周长L最短为$\sqrt{53}$+$\sqrt{2}$+3．

点评 本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数解析式、函数与方程的关系、最短路径问题等，综合性强，值得关注．