Question

1．如图，一次函数y=-x+4的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．

Answer 1

分析 （1）把点A（1，a）代入一次函数y=-x+4，即可得出a，再把点A坐标代入反比例函数y=$\frac{k}{x}$，即可得出k，两个函数解析式联立求得点B坐标；
（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，求出直线AD的解析式，令y=0，即可得出点P坐标．

解答 解：（1）把点A（1，a）代入一次函数y=-x+4，
得a=-1+4，
解得a=3，
∴A（1，3），
点A（1，3）代入反比例函数y=$\frac{k}{x}$，
得k=3，
∴反比例函数的表达式y=$\frac{3}{x}$，
两个函数解析式联立列方程组得$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{3}{x}}\end{array}\right.$，
解得x₁=1，x₂=3，
∴点B坐标（3，1）；

（2）过点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，
∴D（3，-1），
设直线AD的解析式为y=mx+n，
把A，D两点代入得，$\left\{\begin{array}{l}{m+n=3}\\{3m+n=-1}\end{array}\right.$，
解得m=-2，n=5，
∴直线AD的解析式为y=-2x+5，
令y=0，得x=$\frac{5}{2}$，
∴点P坐标（$\frac{5}{2}$，0），
S_△PAB=S_△ABD-S_△PBD=$\frac{1}{2}$×2×2-$\frac{1}{2}$×2×$\frac{1}{2}$=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了一次函数和反比例函数相交的有关问题；通常先求得反比例函数解析式；较复杂三角形的面积可被x轴或y轴分割为2个三角形的面积和．