Question

12．一种产品的进价为40元，某公司在销售这种产品时，每年总开支为100万元（不含进价）．经过若干年销售得知，年销售量y（万件）是销售单价x（元）的一次函数，并得到如下部分数据：

销售单价x（元）	50	60	70	80
年销售量y（万件）	5.5	5	4.5	4

（1）求y关于x的函数关系式；
（2）写出该公司销售这种产品的年利润w（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式；当销售单价x为何值时，年利润最大？
（3）试通过（2）中的函数关系式及其大致图象帮助该公司确定产品的销售单价范围，使年利润不低于60万元．

Answer 1

分析 （1）根据表中的已知点的坐标利用待定系数法确定直线的解析式即可；
（2）根据总利润=单件利润×销量列出函数关系式配方后即可确定最值；
（3）令利润等于60求得相应的自变量的值即可确定销售单价的范围．

解答 解：（1）设y=kx+b，把（60，5），（80，4）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{60k+b=5}\\{80k+b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{20}}\\{b=8}\end{array}\right.$，
故答案为：y=-$\frac{1}{20}$x+8；

（2）该公司年利润w=（-$\frac{1}{20}$x+8）（x-40）-100=-$\frac{1}{20}$（x-100）²+80，
当x=100时，该公司年利润最大值为80万元；

（3）由题意得：-$\frac{1}{20}$（x-100）²+80=60，
解得：x₁=80，x₂=120，
故该公司确定销售单价x的范围是：80≤x≤120．

根据函数图象可得：当80≤x≤120时，
该公司产品的利润不低于60万元．

点评 本题考查了二次函数的应用，解题时把实际问题转化为二次函数，再对二次函数进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．