Question

17．近年来，国家大力提倡大学生创业，2015年小王就要毕业了，因为他学的是市场营销专业，所以毕业后想开一个商店，经过市场调研发现，若投资一个面积为x（单位：m²）的商铺，所需购买费用（单位：万元）与x+2成正比例，装修费用（单位：万元）与x²成正比例，并在调查过程中得到了表格中的数据：

商铺的面积（m2）	购买费用（万元）	装修费用（万元）
1	1.8	0.3

（1）如果小王用从银行贷款30万元、父亲资助20万元、自己大学期间勤工俭学的收入1.6万元，共51.6万元投资一个商铺，请计算小王投资的这个商铺的面积为多少平方米；（总费用=购买费用+装修费用）
（2）购买商铺后，小王准备经营童鞋专卖店，已知专卖店代理的某品牌童鞋的进价为每双40元，该品牌童鞋日销售量y（双）与销售单价x（元/双）之间的关系式为：
y=$\left\{\begin{array}{l}{-2x+140（40≤x≤58）}\\{-x+82（58＜x≤71）}\end{array}\right.$
①求他的销售利润w（元）与销售单价x（元/双）之间的函数关系式．
②小王每月需向银行还贷2075元，另童鞋店每月需缴纳水电费、营业税等固定费用3000元，通过计算判断，小王每月（按30天计算）能否有盈余？如果有，最多盈余多少元？（盈余=销售利润-固定费用-银行贷款）

Answer 1

分析 （1）商铺面积是x平方米时购买费用是（0.6x+1.2）万元、装修费用是0.3x²万元，根据总费用=购买费用+装修费用列出一元二次方程求解即可；
（2）①分40≤x≤58和58＜x≤71时利用总利润=单件利润×销量列出有关的分段函数即可；
②分别求得利润的最大值，求差几块确定答案．

解答 解：（1）由条件：投资一个面积为x（单位：m²）的商铺，所需购买费用（单位：万元）与x+2成正比例，装修费用（单位：万元）与x²成正比例，和表格中的数据可得，商铺面积是x平方米时购买费用是（0.6x+1.2）万元、装修费用是0.3x²万元，
由题意列方程，0.3x²+0.6x+1.2=51.6
即（x+1）²=169，解得x₁=12，x₂=-14（舍去）
所以，小王投资的这个商铺的面积为12平方米；

（2）①当40≤x≤58时，w=（x-40）（-2x+140）=-2x²+220x-5600，
当58＜x≤71时，w=（x-40）（-x+82）=-x²+122x-3280，
所以，w（元）与销售单价x（元/双）之间的函数关系式为：$w=\left\{\begin{array}{l}-2{x^2}+220x-5600（40≤x≤58）\\-{x^2}+122x-3280（58＜x≤71）\end{array}\right.$，
②当40≤x≤58x=55
时，w=-2x²+220x-5600=-2（x-55）²+450
所以，当时，日最大销售利润为450元，月最大销售利润是13500元，
月最大盈余：13500-2075-3000=8420元，
当58＜x≤71时，w=-x²+122x-3280=-（x-61）²+441，
当x=61时，日最大利润是441元，月最大销售利润是13230元，
月最大盈余：13230-2075-3000=8155元，
答：小王每月（按30天计算）能有盈余，最多盈余8420元．

点评 本题考查了二次函数综合知识，解题的关键是仔细审题，从复杂的题意中整理出二次函数模型，难度不大，重点是读懂题意．