Question

6．设函数y=（x-1）[（k-1）x+（k-3）]（k是常数）．
（1）当k取1和2时的函数y₁和y₂的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k取0时的函数的图象；
（2）根据图象，写出你发现的一条结论；
（3）将函数y₂的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到的函数y₃的图象，求函数y₃的最小值．

Answer 1

分析 （1）把k=0代入函数解析式即可得到所求的函数解析式，根据函数解析式作出图象；
（2）根据函数图象回答问题；
（3）由“左加右减，上加下减”的规律写出函数解析式，根据函数图象的增减性来求函数y₃的最小值．

解答 解：（1）当k=0时，y=-（x-1）（x+3），所画函数图象如图所示：


（2）①k取0和2时的函数图象关于点（0，2）中心对称．
②函数y=（x-1）[（k-1）x+（k-3）]（k是常数）的图象都经过（1，0）和（-1，4）．

（3）由题意可得y₂=（x-1）[（2-1）x+（2-3）]=（x-1）²，
平移后的函数y₃的表达式为y₃=（x-1+4）²-2=（x+3）²-2．
所以当x=-3时，函数y₃的最小值是-2．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象，二次函数图象与几何变换以及二次函数的最值．熟练掌握函数图象的性质和学会读图是解题的关键．