Question

14．如图，在△ABC中，∠C=90°，D为边BC上一点，E为BA延长线上一点，EF⊥AB交CA的延长线于F，EF=CD，连接DE交AC于G
（1）若∠BAC=30°，求$\frac{DG}{EG}$的值；
（2）如图2，若点H为边AB上一点，且HD=HB，求证：AH=DH+AF．

Answer 1

分析 （1）过E作EM⊥CF于M，证得△GEM∽△CGD，得到$\frac{DG}{EG}=\frac{DC}{EM}$，再由三角函数求得结果；
（2）在AH上截取AP=AF，过P作PQ⊥AC于Q，连接PD，得到△AEF≌△APQ，证出EF=PQ，由于EF=CD，等量代换PQ=CD，推出四边形PQCD是矩形，得到∠QPD=∠PDC=∠PDB=90°，得出∠1+∠2=∠3+∠4=90°，根据等腰三角形的性质得到PH=DH，于是得到结．

解答 解：（1）过E作EM⊥CF于M，
∵∠EGM=∠CGD，∠EMG=∠C，
∴△GEM∽△CGD，
∴$\frac{DG}{EG}=\frac{DC}{EM}$，
∵∠BAC=30°，
∴∠EAF=30°，
∴∠F=60°，
∴$\frac{CD}{EM}=\frac{EF}{EM}$=$\frac{1}{\frac{EM}{EF}}$=$\frac{1}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{DG}{EG}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$；

（2）在AH上截取AP=AF，过P作PQ⊥AC于Q，连接PD，
在△AEF与△APQ中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAF=∠QAP}\\{∠FEA=∠PQA}\\{AF=AP}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△APQ，
∴EF=PQ，
∵EF=CD，
∴PQ=CD，
∵∠PQC=∠C=90°，
∴PQ∥CD，
∴四边形PQCD是矩形，
∴∠QPD=∠PDC=∠PDB=90°，
∴∠1+∠2=∠3+∠4=90°，
∵HD=HB，
∴∠4=∠B，
∵∠1=∠B，
∴∠1=∠4，
∴∠2=∠3，
∴PH=DH，
∴AH=AP+PH=AF+DH．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，作垂线构造相似三角形是解题的关键．