Question

9．如图，抛物线y=ax²+4与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，AB=4．
（1）直接写出抛物线的解析式．   
（2）过点C作CD⊥AC，且CD=AC，连接AD交抛物线于点P，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）先根据抛物线y=ax²+4得出C点坐标，再根据AB=4求出A、B两点的坐标，再把A点坐标代入抛物y=ax²+4即可得出结论；
（2）先根据A、C两点的坐标求出直线AC的解析式及AC的长，当CD⊥AC时，利用待定系数法求出直线AD的解析式，由AC=CD可得出D点坐标，进而得出直线AD的解析式，求出直线AD与抛物线的交点坐标即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+4与x轴交于A、B两点（A左B右），与y轴交于点C，
∴C（0，4），
∵AB=4，
∴A（-2，0），B（2，0），
∴4a+4=0，解得a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-x²+4；

（2）方法一：设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A（-2，0），C（0，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2\\;}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=2x+4，AC=$\sqrt{（-2）^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
当CD⊥AC时，
设直线CD的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+a，
∵C（0，4），
∴a=4，
∴直线CD的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+4，
设D（x，-$\frac{1}{2}$x+4），
∵AC=CD，
∴CD²=AC²，即x²+（-$\frac{1}{2}$x）²=20，解得x=4或x=-4（舍去）
∴D（4，2），
设直线AD的解析式为y=k₁x+b₁，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2{k}_{1}+{b}_{1}=0}\\{4{k}_{1}+{b}_{1}=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=\frac{1}{3}}\\{{k}_{2}=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线AD的解析式为y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{2}{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+4}\\{y=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{5}{3}}\\{{y}_{1}=\frac{11}{9}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-2}\\{{y}_{2}=0}\end{array}\right.$（不合题意舍去），
故P点坐标为（$\frac{5}{3}$，$\frac{11}{9}$）．
方法二：过点D作DE垂直y轴，
∵∠ACO+∠CDO=90°，∠DCE+∠CDE=90°，
∴∠ACO=∠CDE，
在△AOC和△CED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOC=∠CED\\}\\{∠OCA=∠CDE}\\{AC=CD}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△CED（AAS），
∴CO=ED=4，CE=AO=2，
∴D（4，2），
将A（-2，0），D（4，2）代入y=kx+b得：
$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{4k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{3}}\\{b=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
∴AP所在解析式为：y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{2}{3}$，
∴将两函数联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+4}\\{y=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{5}{3}}\\{{y}_{1}=\frac{11}{9}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-2}\\{{y}_{2}=0}\end{array}\right.$（不合题意舍去），
∴故P点坐标为（$\frac{5}{3}$，$\frac{11}{9}$）．

点评 本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式等知识，在解答（2）时要注意舍去不合理的答案．