Question

5．如图，抛物线y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4与x轴交于点A和点B（点B在点A的左侧），与轴交于点C，⊙O′是△ABC的外接圆，AB是⊙O′的直径，过点C作⊙O′的切线与x轴交于点F，过点A作AD⊥CF于点D．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）试判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使得S_△ACP=S_△ACO？若存在，直接写出所有满足条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据自变量与函数值的对应关系，当y=0时，可得A、B点的坐标，当x=0时，可得C点坐标；
（2）根据切线与过切点直径的关系，可得CF的解析式，根据抛物线的顶点坐标公式，可得抛物线的顶点坐标，根据点的坐标是否满足函数解析式，可得答案；
（3）根据平行线间的距离相等，可得过O点平行AC的直线，及向下平移4个单位的直线，根据解方程组，可得符合条件的P点坐标．

解答 解：（1）当y=0时，$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4=0，解得x₁=-2，x₂=8，
∵点B在点A的左侧，
∴点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（8，0）．
当x=0时，y=-4，
∴点C的坐标为（0，-4）；
（2）抛物线的顶点E是否在直线CD上，理由如下；
抛物线y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4的顶点坐标为（3，-$\frac{25}{4}$），
O′是AB的中点，得O′（3，0），
直线O′C的解析式为y=$\frac{4}{3}$x-4，
CF是⊙O′的切线，得
CF的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x-4，
当x=3时，y=-$\frac{25}{4}$，
即E（3，-$\frac{25}{4}$）在直线CD上；
（3）在抛物线上存在一点P，使得S_△ACP=S_△ACO，
直线AC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-4，向上平移4个单位的直线过O点，向下平移4个单位的直线上的点到AC的距离与O到AC的距离相等，
过O点平行AC的直线y=$\frac{1}{2}$x，
①联立抛物线、过O点平行于AC的直线，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}-\frac{3}{2}x-4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-4-4\sqrt{2}}\\{{y}_{1}=-2-2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-4+4\sqrt{2}}\\{{y}_{2}=-2+2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
P₁（-4-4$\sqrt{2}$，-2-2$\sqrt{2}$），P₂（-4+4$\sqrt{2}$，-2+2$\sqrt{2}$）；
②联立向下平移4个单位的直线、抛物线，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-8}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}-\frac{3}{2}x-4}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-6}\end{array}\right.$，
即P₃（4，-6）．
综上所述：P₁（-4-4$\sqrt{2}$，-2-2$\sqrt{2}$），P₂（-4+4$\sqrt{2}$，-2+2$\sqrt{2}$），P₃（4，-6）．

点评 本题考查了二次函数综合题，（1）利用了自变量与函数值的对应关系；（2）利用了切线与过切点直径的关系，抛物线的顶点坐标，点与直线的位置关系；（3）利用等底等高的三角形的面积相等，利用了平行线间的距离相等，解方程组，利用平行线间的距离相等得出平行AC的两条直线是解题关键．