Question

10．如图①，是某设计师设计的一建筑物造型的纵截面，曲线OBA是一开口向右、对称轴正好是水平线OC的抛物线的一部分，AC、BD是与水平线OC垂直的两根支柱，AC=5米，BD=3米，OD=3米．

（1）请你利用所学的函数知识求OC的长（在所给的方框内画出函数图象的草图，并在图中标出点O、A、B、C、D对应的位置）；
（2）为了安全美观，准备拆除支柱AC、BD，在水平线OC上另找一点P作为地面上的支撑点，用固定材料连接PA、PB，对抛物线造型进行支撑加固．（如图②）
①为使用料最省，请在图②中作出用料最省时的点Po的位置；（支柱与地面、造型连接处的用料多少问题暂不考虑）
②计算用料最省时点O、P之间的距离是多少？

Answer 1

分析 （1）以点O为原点，OC所在直线为y轴，垂直于OC的直线为x轴建立平面直角坐标系，利用待定系数法确定二次函数的解析式后即可求得点A′的坐标；
（2）①延长BD到M使MD=BD，连接AM交OC于点P，则点P即为所求；
②利用待定系数法确定直线M'A'的解析式，从而求得点P′的坐标，从而求得O、P之间的距离．

解答 解：（1）如图建立平面直角坐标系，（以点O为原点，OC所在直线为y轴，垂直于OC的直线为x轴），
设抛物线的函数解析式为y=ax²，
由题意知点B'的坐标为（-3，3）．
∵点B'在旋转后的抛物线上，
∴3=a×（-3）²，解得$a=\frac{1}{3}$，
∴旋转后抛物线的函数解析式为：$y=\frac{1}{3}{x^2}$，
当x=-5时，$y=\frac{1}{3}•{（-5）^2}=\frac{25}{3}$，
∴点A'的坐标为（-5，$\frac{25}{3}$），
∴OC=OC'=$\frac{25}{3}$； 

（2）①延长BD到M使MD=BD，连接AM交OC于点P，则点P即为所求．
②由（1）知，点A'的坐标为（-5，$\frac{25}{3}$），点B'的坐标为（-3，3），
∴点M'的坐标为（3，3），
设直线M'A'的函数解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}3k+b=3\\-5k+b=\frac{25}{3}.\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}k=-\frac{2}{3}\\ b=5\end{array}\right.$，
∴直线M'A'的函数解析式为$y=-\frac{2}{3}x+5$，
把x=0代入$y=-\frac{2}{3}x+5$，得y=5，
∴点P'的坐标为（0，5），
∴用料最省时，点O、P之间的距离是5米．

点评 本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出二次函数模型，利用二次函数的知识解决生活中的实际问题．