Question

11．如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于N．
（1）求证：∠ADC=∠ABD；
（2）求证：AD²=AM•AB；
（3）若AM=$\frac{18}{5}$，sin∠ABD=$\frac{3}{5}$，求线段BN的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由切线的性质和圆周角定理即可得到结果；
（2）由已知条件证得△ADM∽△ABD，即可得到结论；
（3）根据三角函数和勾股定理代入数值即可得到结果．

解答 （1）证明：连接OD，
∵直线CD切⊙O于点D，
∴∠CDO=90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∵OB=OD，
∴∠3=∠4，
∴∠ADC=∠ABD；

（2）证明：∵AM⊥CD，
∴∠AMD=∠ADB=90°，
∵∠1=∠4，
∴△ADM∽△ABD，
∴$\frac{AM}{AD}=\frac{AD}{AB}$，
∴AD²=AM•AB；

（3）解：∵sin∠ABD=$\frac{3}{5}$，
∴sin∠1=$\frac{3}{5}$，
∵AM=$\frac{18}{5}$，
∴AD=6，
∴AB=10，
∴BD=$\sqrt{{AB}^{2}{-AD}^{2}}$=8，
∵BN⊥CD，
∴∠BND=90°，
∴∠DBN+∠BDN=∠1+∠BDN=90°，
∴∠DBN=∠1，
∴sin∠NBD=$\frac{3}{5}$，
∴DN=$\frac{24}{5}$，
∴BN=$\sqrt{{BD}^{2}{-DN}^{2}}$=$\frac{32}{5}$．

点评 本题考查了圆的切线性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．