Question

如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（0，3）、（1，0），连接AB将线段AB绕点B旋转90°得到线段CB．抛物线y=

1

5

x²+bx-

3

5

的图象经过点C．
（1）求点C的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若将线段AB向右平移，使点B恰好落在抛物线上，求线段AB扫过的面积．

Answer 1

考点：二次函数图象与几何变换

专题：

分析：（1）如图，连接AC，利用勾股定理进行解答；
（2）把点C的坐标代入函数解析式，通过方程来求系数b的值；
（3）所扫过的部分平行四边形，根据平行四边形的面积公式进行解答．

解答：解：（1）如图，连接AC．
设C（x，y）（x、y＞0）．则

(x-1)2+y2=32+12 x2+(y-3)2=2(32+12)

，
解得

x=4 y=1

．
故C（4，1）．

（2）由（1）知，C（4，1）．将其代入y=

1

5

x²+bx-

3

5

，得

1

5

×4²+4b-

3

5

=1，
解得 b=-

2

5

．
则该函数的解析式为：y=

1

5

x2-

2

5

x-

3

5

．

（3）令y=0，则

1

5

x²-

2

5

x-

3

5

=0，整理，得
（x+1）（x-3）=0，
则x₁=-1，x₂=3，
故D（3，0）．
∵B（1，0），
∴DB=2，
则S_{平行四边形ABDE}=BD•OA=2×3=6，即线段AB扫过的面积是6．

点评：本题考查了二次函数图象与几何变换．此题利用待定系数法来求二次函数的解析式，这是中学阶段经常考核的知识点之一．