Question

17．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为点D，且AC平分∠BAD．
（1）求证：直线MN是⊙O的切线；
（2）若CD=4，AC=5，求⊙O的直径．

Answer 1

分析 （1）直接利用角平分线的性质结合等腰三角形的性质得出OC⊥MN，进而得出答案；
（2）利用相似三角形的判定与性质得出AB的长．

解答 （1）证明：连接OC，
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠BAD，∴∠CAB=∠DAC，
∴∠OCA=∠DAC，
∴OC∥AD．
∵AD⊥MN，∴OC⊥MN．
∵OC为半径，∴MN是⊙O切线．

（2）解：∵∠ADC=90°，AC=5，DC=4，
∴AD=3，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠ACB，
又∵∠CAB=∠DAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$，
∴$\frac{3}{5}$=$\frac{5}{AB}$，
解得：AB=$\frac{25}{3}$，
即⊙O的直径长为$\frac{25}{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，平行线性质和判定，等腰三角形性质，切线的判定的应用，主要考查学生的推理能力．