Question

如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长交CE于点E，若AB=6，AD=2CD，则BE的长为__________．

Answer 1

3．

【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理．

【分析】如图，作辅助线；证明AB∥CF，得到△ABD∽△CED，进而得到，结合AD=2CD，AB=6，求出CE=3；求出EG、CG的长度，运用勾股定理即可解决问题．

【解答】解：如图，过点E作EG⊥CF于点G；

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=∠ACB=60°，AB=BC=6；

∴∠ACF=120°，而CE是外角平分线，

∴∠ACE=∠ECG=60°，∠A=∠ACE，

∴AB∥CF，△ABD∽△CED，

∴，而AD=2CD，AB=6，

∴CE=3；而∠ECG=60°，

∴∠CEG=30°，CG=CE=1.5，EG=，

∴BG=7.5；

由勾股定理得：BE²=BG²+EG²，

∴BE=3，

故答案为3．

【点评】该题主要考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线；灵活运用等边三角形的性质、相似三角形的判定、勾股定理等几何知识点来分析、判断、解答．