Question

如图，已知抛物线y=m（x+1）（x﹣2）（m为常数，且m＞0）与x轴从左至右依次交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=OC，经过点B的直线与抛物线的另一交点D在第二象限．

（1）求抛物线的函数表达式．

（2）在第一象限内的抛物线上是否存在点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若∠DBA=30°，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

Answer 1

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）首先求出点A、B坐标，然后根据OA=OC，求得点D坐标，代入抛物线y=m（x+1）（x﹣2）（m为常数，且m＞0），求得抛物线解析式；

（2）因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．如答图2，按照以上两种情况进行分类讨论，分别计算；

（3）由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF+DF．如答图3，作辅助线，将AF+DF转化为AF+FG；再由垂线段最短，得到垂线段AH与直线BD的交点，即为所求的F点．

【解答】解：（1）抛物线y=m（x+1）（x﹣2）（m为常数，且m＞0）与x轴从左至右依次交于A、B两点，

令y=0，解得x=﹣1或x=2，

则A（﹣1，0），B（2，0），

∵OA=OC，

∴C（0，﹣1），

∵点C（0，﹣1）在抛物线y=m（x+1）（x﹣2）上，

∴m×（0+1）×（0﹣2）=﹣1，

解得m=．

∴抛物线的函数表达式为：y=（x+1）（x﹣2）．

（2）因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．

因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．

①若△ABC∽△APB，则有∠BAC=∠PAB，如答图2﹣1所示．

设P（m，n），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=m，PN=n．

tan∠BAC=tan∠PAB，即：n=m+1，

∴P（m，m+1），代入抛物线解析式y=（x+1）（x﹣2），

得（m+1）（m﹣2）=m+1，

解得：m=4或m=﹣1（与点A重合，舍去），

∴P（4，5）．

②若△ABC∽△PAB，则有∠ABC=∠PAB，如答图2﹣2所示．

设P（m，n），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=m，PN=n．

tan∠ABC=tan∠PAB，即：=，n=（m+1），

∴P[m，（m+1）]，代入抛物线解析式y=（x+1）（x﹣2），

得（m+1）（m﹣2）=（m+1），

解得：m=3或m=﹣1（与点A重合，舍去），

∴P（3，2）．

故点P的坐标为（4，5）或（3，2）；

（3）∵∠DBA=30°，

∴设直线BD的解析式为y=﹣x+b，

∵B（2，0），

∴0=﹣×2+b，解得b=．

故直线BD的解析式为y=﹣x+．

联立两解析式可得，

解得，．

则D（﹣，），

如答图3，过点D作DN⊥x轴于点N，过点D作DK∥x轴，则∠KDF=∠DBA=30°．过点F作FG⊥DK于点G，则FG=DF．

由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF+DF，

∴t=AF+FG，即运动的时间值等于折线AF+FG的长度值．

由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段．

过点A作AH⊥DK于点H，则t_最小=AH，AH与直线BD的交点，即为所求的F点．

∵A点横坐标为﹣1，直线BD解析式为：y=﹣x+，

∴y=﹣×（﹣1）+=，

∴F（﹣1，）．

综上所述，当点F坐标为（﹣1，）时，点M在整个运动过程中用时最少．

【点评】本题是二次函数压轴题，难度很大．第（2）问中需要分类讨论，避免漏解；在计算过程中，解析式中含有未知数m，增加了计算的难度，注意解题过程中的技巧；第（3）问中，运用了转化思想使得试题难度大大降低，需要认真体会．