Question

【题目】已知一次函数y=﹣x+的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．直线l过点A且垂直于x轴．两动点D、E分别从A B两点间时出发向O点运动（运动到O点停止）．运动速度分别是每秒1个单位长度和个单位长度．点G、E关于直线l对称，GE交AB于点F．设D、E的运动时间为t（s）．

（1）当t为何值时，四边形是菱形？判断此时△AFG与AGB是否相似，并说明理由；

（2）当△ADF是直角三角形时，求△BEF与△BFG的面积之比．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2).

【解析】

（1）①先求出A、B的坐标，由题意可得EF=t，BF=2t，AF=2﹣2t，AD=t，从而四边形ADEF为平行四边形，由AD=AF时，ADEF是菱形可求出t的值；②由锐角三角函数的知识可求∠EBG=60°，从而∠ABG=30°，根据两角相等的两个三角形相似可证△AFG∽△AGB；

（2）分∠ADF=90°和∠AFD=90°两种情况求解即可.

解：（1）①由题意可得：A（1，0），B（0，），∠OBA=30°，

∵BE=t，

∴EF=t，BF=2t，AF=2﹣2t，

∵AD=t，

∴EF=AD，且EF∥AD，

∴四边形ADEF为平行四边形．

当AD=AF时，ADEF是菱形，即：t=2﹣2t，解得t=．

②此时△AFG与△AGB相似．理由如下：

如答图1所示，连接AE，则AE=AG，

∴∠AGE=∠AEG=30°．

在Rt△BEG中，BE=，EG=2，

∴tan∠EBG==，

∴∠EBG=60°，

∴∠ABG=∠EBG﹣∠EBF=30°．

在△AFG与△AGB中，∵∠BAG=∠GAF，∠ABG=∠AGF=30°，

∴△AFG∽△AGB．

（2）∵∠DAF=60°，

∴当∠ADF=90°时，AF=2AD，即：2﹣2t=2t，解得t=，

此时EF=，FG=，

∴==，

∴当∠AFD=90°时，AD=2AF，即：t=2（2﹣2t），解得t=，

此时EF=，FG=，

∴==．