Question

【题目】平面直角坐标系xOy中，点A、B的横坐标分别为a、a+2，二次函数y=﹣x2+（m﹣2）x+2m的图象经过点A、B，且a、m满足2a﹣m=d（d为常数）．

（1）若一次函数y1=kx+b的图象经过A、B两点．

①当a=1、d=﹣1时，求k的值；

②若y随x的增大而减小，求d的取值范围；

（2）当d=﹣4且a≠﹣2、a≠﹣4时，判断直线AB与x轴的位置关系，并说明理由；

（3）点A、B的位置随着a的变化而变化，设点A、B运动的路线与y轴分别相交于点C、D，线段CD的长度会发生变化吗？如果不变，求出CD的长；如果变化，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①k的值为﹣3，②d的取值范围为d＞﹣4；（2）AB∥x轴．理由见解析；（3）线段CD的长度不变，理由见解析．

【解析】

（1）①当a=1、d=-1时，m=2a-d=3，于是得到抛物线的解析式，然后求得点A和点B的坐标，最后将点A和点B的坐标代入直线AB的解析式求得k的值即可；
②将x=a，x=a+2代入抛物线的解析式可求得点A和点B的纵坐标，然后依据y1随着x的增大而减小，可得到-（a-m）（a+2）>-（a+2-m）（a+4），结合已知条件2a-m=d，可求得d的取值范围；
（2）由d=-4可得到m=2a+4，则抛物线的解析式为y=-x2+（2a+2）x+4a+8，然后将x=a、x=a+2代入抛物线的解析式可求得点A和点B的纵坐标，最后依据点A和点B的纵坐标可判断出AB与x轴的位置关系；
（3）先求得点A和点B的坐标，于是得到点A和点B运动的路线与字母a的函数关系式，则点C（0，2m），D（0，4m-8），于是可得到CD与m的关系式．

（1）①当时，

所以二次函数的表达式是

∵a=1，

∴点A的横坐标为1，点B的横坐标为3，

把x=1代入抛物线的解析式得：y=6，把x=3代入抛物线的解析式得：y=0，

∴A（1，6），B（3，0）．

将点A和点B的坐标代入直线的解析式得：解得：

所以k的值为﹣3．

②∵

∴当x=a时，；当x=a+2时，

∵y1随着x的增大而减小，且a＜a+2，

∴ 解得：

又∵

∴d的取值范围为

（2）∵且

∴m=2a+4．

∴二次函数的关系式为

把x=a代入抛物线的解析式得：y=a2+6a+8．

把x=a+2代入抛物线的解析式得：y=a2+6a+8．

∴A（a，a2+6a+8）、B（a+2，a2+6a+8）．

∵点A、点B的纵坐标相同，

∴AB∥x轴．

（3）线段CD的长度不变．

∵过点A、点B，，

∴

∴

∵把a=0代入，得：

∴

∵点D在y轴上，即a+2=0，

∴

把代入得：

∴

∴

∴线段CD的长度不变．