Question

【题目】如图，直线l：y=x+6交x、y轴分别为A、B两点，C点与A点关于y轴对称．动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ=∠BAO．

（1）点A坐标是 ，点B的坐标 ，BC= ．

（2）当点P在什么位置时，△APQ≌△CBP，说明理由．

（3）当△PQB为等腰三角形时，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）A的坐标是（﹣8，0），点B的坐标是（0，6），BC==10，（2）当P的坐标是（2，0）时，△APQ≌△CBP．（3）（﹣8，0），（0，6），10．

【解析】

试题分析：（1）把x=0和y=0分别代入一次函数的解析式，求出A、B的坐标，根据勾股定理求出BC即可．

（2）求出∠PAQ=∠BCP，∠AQP=∠BPC，根据点的坐标求出AP=BC，根据全等三角形的判定推出即可．

（3）分为三种情况：①PQ=BP，②BQ=QP，③BQ=BP，根据（2）即可推出①，根据三角形外角性质即可判断②，根据勾股定理得出方程，即可求出③．

解：（1）∵y=x+6

∴当x=0时，y=6，

当y=0时，x=﹣8，

即点A的坐标是（﹣8，0），点B的坐标是（0，6），

∵C点与A点关于y轴对称，

∴C的坐标是（8，0），

∴OA=8，OC=8，OB=6，

由勾股定理得：BC==10，

（2）当P的坐标是（2，0）时，△APQ≌△CBP，

理由是：∵OA=8，P（2，0），

∴AP=8+2=10=BP，

∵∠BPQ=∠BAO，∠BAO+∠AQP+∠APQ=180°，∠APQ+∠BPQ+∠BPC=180°，

∴∠AQP=∠BPC，

∵A和C关于y轴对称，

∴∠BAO=∠BCP，

在△APQ和△CBP中，

，

∴△APQ≌△CBP（AAS），

∴当P的坐标是（2，0）时，△APQ≌△CBP．

（3）分为三种情况：

①当PB=PQ时，∵由（2）知，△APQ≌△CBP，

∴PB=PQ，

即此时P的坐标是（2，0）；

②当BQ=BP时，则∠BPQ=∠BQP，

∵∠BAO=∠BPQ，

∴∠BAO=∠BQP，

而根据三角形的外角性质得：∠BQP＞∠BAO，

∴此种情况不存在；

③当QB=QP时，则∠BPQ=∠QBP=∠BAO，

即BP=AP，

设此时P的坐标是（x，0），

∵在Rt△OBP中，由勾股定理得：BP2=OP2+OB2，

∴（x+8）2=x2+62，

解得：x=﹣，

即此时P的坐标是（﹣，0）．

∴当△PQB为等腰三角形时，点P的坐标是（2，0）或（﹣，0）．

故答案为：（﹣8，0），（0，6），10．