Question

12．如图，抛物线${y_1}={（x-2）^2}+m$与x轴交于点A和B，与y轴交于点C，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，若点A的坐标为（1，0），直线y₂=kx+b经过点A，D．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）求点D的坐标和直线AD的函数解析式；
（3）根据图象指出，当x取何值时，y₂＞y₁．

Answer 1

分析 （1）把点A的坐标代入抛物线解析式可求出m的值，进而可得到抛物线的解析式；
（2）首先由抛物线的解析式可求出点C的坐标，再根据函数图象的对称性即可求出点D的坐标；由于点A的坐标已知，进而可求出直线AD的解析式；
（3）结合两个函数图象可知当但直线在抛物线上方时可得到y₂＞y₁的解集．

解答 解：
（1）∵点A（1，0）在抛物线上，
∴（1-2）²+m=0，
∴m=-1，
∴y₁=（x-2）²-1；                
（2）抛物线y₁=（x-2）²-1的对称轴为x=2，与y的交点C的坐标为（0，3），
∵点D是点C关于对称轴x=2的对称点，
∴点D的坐标为（4，3），
直线AD经过点点A，D，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{4k+b=3}\end{array}}\right.$，
解得k=1，b=-1，
∴y=x-1；                          
（3）当1＜x＜4时，y₂＞y₁．

点评 本题考查二次函数与不等式（组）的知识，同时涉及到用待定系数法求一次函数解析式和二次函数的性质，解题要注意数形结合思想的灵活运用，难度一般．