Question

如图所示，矩形ABCD中，AB=30，AD=40，P为BC上的一动点，过点P作PM⊥AC于点M，PN⊥BD于点N，试问当P点在BC上运动时，PM+PN的值是否发生变化？若不变，请求出定值．

Answer 1

考点：矩形的性质

专题：

分析：根据勾股定理求出BD，求出OC、OB，求出三角形ABC面积，求出三角形BOC面积，根据三角形面积公式得出

1

2

×BO×PN+

1

2

CO×PM=300，求出即可．

解答：
解：当P点在BC上运动时，PM+PN的值不发生变化，
理由是：连接PO，
∵在矩形ABCD中，AB=30，BC=AD=40，
∴AC=BD，∠ABC=90°，AO=OC=BO=OD，
由勾股定理得：AC=50，
∴AO=OC=OB=OD=25，
∴S_△ABC=

1

2

AB×BC=

1

2

×30×40=600，
∴S_△BOC=

1

2

S_△ABC=300，
∴

1

2

×BO×PN+

1

2

CO×PM=300，
∴PM+PN=24，
即当P点在BC上运动时，PM+PN的值不发生变化，永远是24．

点评：本题考查了矩形的面积，三角形的面积，勾股定理的应用，注意：矩形的对角线互相平分且相等．