Question

20．已知三角形两边长为4和5．第三边上的高为3．求第三边长为多少？

Answer 1

分析 分两种情况讨论：①高AD在△ABC的外部时；②高AD在三角形内部时；分别由勾股定理求出BD、CD，即可得出结果．

解答 解：分两种情况讨论：
①高AD在△ABC的外部时，如图1所示：
在Rt△ABD，AB=5，AD=3．
BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
在Rt△ACD中，AC=4，AD=3，
CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴BC=BD-CD=4-$\sqrt{7}$；
②高AD在三角形内部时，如图2所示：
在Rt△ABD中，AB=5，AD=3，
BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
在Rt△ADC中，AD=3，AC=4，
CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴BC=BD+CD=4+$\sqrt{7}$；
综上所述：第三边长为4-$\sqrt{7}$或4+$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，在解答此题时要注意高在三角形内部和在三角形外部两种情况，不要漏解．