Question

已知：如图，△ABC中，BD，CE分别平分∠B和∠C，P是DE中点，过点P作BC，CA，AB的垂线，垂足分别为L，M，N，求证：PL=PM+PN．

Answer 1

解：过D作DF⊥BC交BC于F，过E作EG⊥BC交BC于G，过D作DH⊥AB交AB于H，过E作EK⊥AC交AC于K．
∵DF⊥BC、PL⊥BC、EG⊥BC，
∴DF∥PL∥EG，
又∵PD=EP，
∴PL是梯形DEGF的中位线，
∴PL=．
∵点E在∠ACB的平分线上，
∴EG=EK．
∵点D在∠ABC的平分线上，
∴DF=DH．
∴PL=．
∵PM⊥AC、EK⊥AC，
∴PM∥EK，
又∵DP=EP，
∴PM是△DEK的中位线，
∴EK=2PM．
∵PN⊥AB、DH⊥AB，
∴PN∥DH，
又∵DP=EP，
∴PN是△DEH的中位线，
∴DH=2PN．
∵PL=，EK=2PM、DH=2PN，
∴PL=PM+PN．
分析：过D作DF⊥BC交BC于F，过E作EG⊥BC交BC于G，过D作DH⊥AB交AB于H，过E作EK⊥AC交AC于K．
由DF⊥BC、PL⊥BC、EG⊥BC，可知DF∥PL∥EG，进而可得出PL是梯形DEGF的中位线，所以PL=．由角平分线的性质可知EG=EK，DF=DH，同理可得PM是△DEK的中位线，PN是△DEH的中位线，再通过等量代换即可得出结论．
点评：本题考查的是角平分线的性质，涉及到三角形、等腰梯形的中位线定理，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．