Question

【题目】如图，中，平分交于点 ，为的中点．

（1）如图①，若为的中点，，，，，求；

（2）如图②，为线段上一点，连接，满足，．求证：．

Answer 1

【答案】（1） （2）见解析

【解析】

（1）根据平行四边形的性质得出AB∥CD，AD∥BC，由DF平分∠ADC可得△DCF为等腰三角形，即DC=FC=8，再根据AB⊥CD得出△ACD为直角三角形，由G是HD的中点得出DH=2GC=，利用勾股定理得出HC=4，即AH=5，最后根据为的中点，即可得出MG的值.

（2）过点D作DN∥AC交CG延长线于N，可得， ，由G是DH的中点得，故，即，再由四边形ABCD是平行四边形可得∠DAC=∠ACB=∠AND，根据三角形内角和定理可得∠BMF=∠AND，∠BMF+∠B=∠AND+∠ADC，再由∠MFC=∠NDC，且CF=CD，∠FCM=∠DCM证明得出△MFC△NDC(ASA)，即可得出CM=CN=2CG.

（1）四边形ABCD是平行四边形

AB∥CD，AD∥BC

又AD∥BC

∠ADF=∠DFC

DF平分∠ADC

∠ADF=∠FDC

∠DFC=∠FDC

△DCF为等腰三角形

CD=FC=8

AB⊥CD且AB∥CD

AC⊥CD

△ACD为直角三角形

又G是HD的中点且GC=

DH=2GC=(斜边中线=斜边的一半)

RT△HCD中

DC=8，HD=

AC=9

AH=5

M是AD的中点

.

（2）

证明：过点D作DN∥AC交CG延长线于N

，

G是DH的中点

，且∠N=∠ACG，∠CGH=∠DGN

又四边形ABCD是平行四边形

∠B=∠ADC，AD∥BC

∠DAC=∠ACB=∠AND

∠MFB=∠BAC,且∠BMF=180°-∠B-∠BFM，∠ACB=180°-∠B-∠BAC

∠BMF=∠ACB

∠BMF=∠ADN

∠BMF+∠B=∠AND+∠ADC

∠MFC=∠NDC，且CF=CD，∠FCM=∠DCM

△MFC△NDC(ASA)

CM=CN=2CG