Question

如图所示，BC是⊙O直径，AD⊥BC，垂足为D，

BA

=

AF

，BF与AD交于E，求证：AB²=2AD•AE．

Answer 1

考点：相交弦定理,垂径定理,射影定理

专题：证明题

分析：连CF，AC，AF，过A作AM⊥BF于M，由在同圆中等弧对的圆周角相等得到∠BCA=∠ACF，∠ACF=∠ABF，由同角的余角相等得到∠BAD=∠BCA，所以∠ABF=∠BAD，即BE=AE，证△AMB≌△BDA，推出AD=BM，求出BF=2AD，求出△ABE∽△FBA，推出AB²=BE×BF即可．

解答：证明：连CF，AC，AF，过A作AM⊥BF于M，
∵

BA

=

AF

，
∴AF=AB，∠BCA=∠ACF，∠ACF=∠ABF，
∴BF=2BM，
∵BC为圆的直径，∴∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，
又AD⊥BC，∴∠ADB=90°，
∴∠ABC+∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠BCA，
∴∠ABF=∠BAD，
即BE=AE，
∵AM⊥BF，AD⊥BC，
∴∠AMB=∠ADB=90°，
在△AMB和△BDA中，

∠ABE=∠BAD ∠AMB=∠ADB AB=AB

，
∴△AMB≌△BDA（AAS），
∴AD=BM，
∴BF=2AD，
∵弧AF=弧AB，
∴∠ABF=∠AFB，
∵∠ABF=∠BAD，
∴∠BAE=∠AFB，
∵∠ABE=∠ABE，
∴△ABE∽△FBA，
∴

AB

BE

=

BF

AB

，
∴AB²=BE×BF，
∵BE=AE，BF=2AD，
∴AB²=2AD×AE．

点评：本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，注意：在同圆中等弧对的圆周角相等，题目比较好，难度适中．