Question

已知如图，点G是三角形ABC的三条中线AD，BE，CF的交点，求证：
（1）DG=

1

3

AD，EG=

1

3

BE，FG=

1

3

CF；
（2）以AD，BE，CF为边围成的三角形的面积是△ABC的

3

4

．

Answer 1

考点：三角形的重心

专题：

分析：（1）由于点G是三角形ABC的重心，根据三角形重心的性质可知AG=2DG，又AG+DG=AD，即可证明DG=

1

3

AD，同理得到EG=

1

3

BE，FG=

1

3

CF；
（2）延长AD到M，使DM=AD，连接BM、MC，取BM中点H，连接FH、CH，则四边形ABMC为平行四边形，得AC=BM，又因为E、H分别为AC、BM中点，得BH平行且等于EC，则HC=BE，同理得FH平行且等于AD，得到△FCH三边长即为△ABC三中线长，然后依次求出S_△BFH=

1

4

S_△ABM=

1

4

×

1

2

S_{平行四边形ABMC}=

1

4

S_△ABC，S_△CAF=

1

2

S_△ABC，S_△CHM=

1

2

S_△CBM=

1

2

S_△ABC，最后得到S_△FCH=S_{平行四边形ABMC}-S_△BHF-S_△CHM-S_△CAF=2S_△ABC-

1

4

S_△ABC-

1

2

S_△ABC-

1

2

S_△ABC．

解答：证明：（1）∵点G是三角形ABC的三条中线AD，BE，CF的交点，
∴点G是三角形ABC的重心，
∴AG=2DG，
又AG+DG=AD，
∴DG=

1

3

AD，
同理EG=

1

3

BE，FG=

1

3

CF；

（2）如图，延长AD到M，使DM=AD，连接BM、MC，取BM中点H，连接FH、CH，
∵DM=AD，BD=CD，
∴四边形ABMC为平行四边形，
∴AC=BM，
又∵E、H分别为AC、BM中点，
∴BH平行且等于EC，
∴四边形BHCE为平行四边形，
∴HC=BE，
又∵F、H为AB、BM中点，
∴FH平行且等于

1

2

AM，
∴FH平行且等于AD，
∴△FCH三边长即为△ABC三中线长，
又∵△BHF∽△BMA，

BF

AB

=

1

2

，
∴S_△BFH=

1

4

S_△ABM=

1

4

×

1

2

S_{平行四边形ABMC}=

1

4

S_△ABC，
∵S_△CAF=

1

2

S_△ABC，S_△CHM=

1

2

S_△CBM=

1

2

S_△ABC，
∴S_△FCH=S_{平行四边形ABMC}-S_△BHF-S_△CHM-S_△CAF=2S_△ABC-

1

4

S_△ABC-

1

2

S_△ABC-

1

2

S_△ABC=

3

4

S_△ABC．

点评：本题考查了三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，有一定难度．准确作出辅助线，得出△FCH是以AD，BE，CF为边围成的三角形是解第（2）题的关键．