Question

12．关于x的方程：x+$\frac{1}{x}$=c+$\frac{1}{c}$的解为x₁=c，x₂=$\frac{1}{c}$；
x-$\frac{1}{x}$=c-$\frac{1}{c}$（即x+$\frac{-1}{x}$=c+$\frac{-1}{c}$的解为x₁=c，x₂=-$\frac{1}{c}$；
x+$\frac{2}{x}$=c+$\frac{2}{c}$的解为x₁=c，x₂=$\frac{2}{c}$；x+$\frac{3}{x}$=c+$\frac{3}{c}$的解为x₁=c，x₂=$\frac{3}{c}$；…
（1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程x+$\frac{m}{c}$=c+$\frac{m}{c}$（m≠0）与它们的关系，猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证；
（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只有把其中的未知数换成某个常数，那么这样的方程可以直接得解．请用这个结论解关于x的方程：x+$\frac{2}{x-1}$=c+$\frac{2}{c-1}$．

Answer 1

分析 （1）根据已知方程的特点与解的关系即可写出方程的解；
（2）原方程可以变形为：x-1+$\frac{2}{x-1}$=c-1+$\frac{2}{c-1}$，把x-1当作一个整体，即可求解．

解答 解：（1）解是：x₁=c，x₂=$\frac{m}{c}$，
经检验：c和$\frac{m}{c}$是原方程的解；
（2）由x+$\frac{2}{x-1}$=c+$\frac{2}{c-1}$得x-1+$\frac{2}{x-1}$=c-1+$\frac{2}{c-1}$，
∴x-1=c-1，x-1=$\frac{2}{c-1}$，
∴x₁=c，x₂=$\frac{c+1}{c-2}$．

点评 本题主要考查了分式方程的解，解此题的关键是理解题意，认真审题，寻找规律．