【题目】如图1,在平面直角坐标系中,直线y=-x+1与抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)相交于点A(1,0)和点D(-4,5),并与y轴交于点C,抛物线的对称轴为直线x=-1,且抛物线与x轴交于另一点B.
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)若点E是直线下方抛物线上的一个动点,求出△ACE面积的最大值;
(3)如图2,若点M是直线x=-1的一点,点N在抛物线上,以点A,D,M,N为顶点的四边形能否成为平行四边形?若能,请直接写出点M的坐标;若不能,请说明理由.
【答案】(1)抛物线的表达式为y=x2+2x-3;(2)△ACE的面积的最大值为;(3)当点M的坐标为(-1,26)或(-1,16)或(-1,8)时,以点A,D,M,N为顶点的四边形能成为平行四边形.
【解析】试题分析:(1)先利用抛物线的对称性确定出点B的坐标,然后设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x-1),将点D的坐标代入求得a的值即可;
(2)过点E作EF∥y轴,交AD与点F,过点C作CH⊥EF,垂足为H.设点E(m,m2+2m-3),则F(m,-m+1),则EF=-m2-3m+4,然后依据△ACE的面积=△EFA的面积-△EFC的面积列出三角形的面积与m的函数关系式,然后利用二次函数的性质求得△ACE的最大值即可;
(3)当AD为平行四边形的对角线时.设点M的坐标为(-1,a),点N的坐标为(x,y),利用平行四边形对角线互相平分的性质可求得x的值,然后将x=-2代入求得对应的y值,然后依据=
,可求得a的值;当AD为平行四边形的边时.设点M的坐标为(-1,a).则点N的坐标为(-6,a+5)或(4,a-5),将点N的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值.
试题解析:(1)∴A(1,0),抛物线的对称轴为直线x=-1,
∴B(-3,0),
设抛物线的表达式为y=a(x+3)(x-1),
将点D(-4,5)代入,得5a=5,解得a=1,
∴抛物线的表达式为y=x2+2x-3;
(2)过点E作EF∥y轴,交AD与点F,交x轴于点G,过点C作CH⊥EF,垂足为H.
设点E(m,m2+2m-3),则F(m,-m+1).
∴EF=-m+1-m2-2m+3=-m2-3m+4.
∴S△ACE=S△EFA-S△EFC=EF·AG-
EF·HC=
EF·OA=-
(m+
)2+
.
∴△ACE的面积的最大值为;
(3)当AD为平行四边形的对角线时:
设点M的坐标为(-1,a),点N的坐标为(x,y).
∴平行四边形的对角线互相平分,
∴=
,
=
,
解得x=-2,y=5-a,
将点N的坐标代入抛物线的表达式,得5-a=-3,
解得a=8,
∴点M的坐标为(-1,8),
当AD为平行四边形的边时:
设点M的坐标为(-1,a),则点N的坐标为(-6,a+5)或(4,a-5),
∴将x=-6,y=a+5代入抛物线的表达式,得a+5=36-12-3,解得a=16,
∴M(-1,16),
将x=4,y=a-5代入抛物线的表达式,得a-5=16+8-3,解得a=26,
∴M(-1,26),
综上所述,当点M的坐标为(-1,26)或(-1,16)或(-1,8)时,以点A,D,M,N为顶点的四边形能成为平行四边形.
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【题目】我校八年级有800名学生,在体育中考前进行一次排球模拟测试,从中随机抽取部分学生,根据其测试成绩制作了下面两个统计图,请根据相关信息,解答下列问题:
(1)本次抽取到的学生人数为________,图2中的值为_________.
(2)本次调查获取的样本数据的平均数是__________,众数是________,中位数是_________.
(3)根据样本数据,估计我校八年级模拟体测中得12分的学生约有多少人?
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5cm,AC=3cm,动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动,设运动的时间为t秒,当△ABP为等腰三角形时,t的取值为_____.
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【题目】已知如图,抛物线y=x2+
x﹣
与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)与y轴交于点C,直线BE⊥BC与点B,与抛物线的另一交点为E.
(1)如图1,求点E的坐标;
(2)如图2,若点P为x轴下方抛物线上一动点,过P作PG⊥BE与点G,当PG长度最大时,在直线BE上找一点M,使得△APM的周长最小,并求出周长的最小值.
(3)如图3,将△BOC在射线BE上,设平移后的三角形为△B′O′C′,B′在射线BE上,若直线B′C′分别与x轴、抛物线的对称轴交于点R、T,当△O′RT为等腰三角形时,求R的坐标.
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【题目】如图,△ABD是⊙O的内接三角形,E是弦BD的中点,点C是⊙O外一点且∠DBC=∠A,连接OE延长与圆相交于点F,与BC相交于点C.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为6,BC=8,求弦BD的长.
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【题目】如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A、B两点,与y轴交于点C,对称轴为直线x=﹣1,点B的坐标为(1,0),则下列结论:①AB=4;②b2﹣4ac>0;③ab<0;④a2﹣ab+ac<0,其中正确的结论有( )个.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,正比例函数y=x的图象经过点A,点A的纵坐标为4,反比例函数y=
的图象也经过点A,第一象限内的点B在这个反比例函数的图象上,过点B作BC∥x轴,交y轴于点C,且AC=AB.求:
(1)这个反比例函数的解析式;
(2)直线AB的表达式.
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【题目】某小组在“用频率估计概率”的试验中,统计了某种结果出现的频率,绘制了如图所示的折线图,那么符合这一结果的试验最有可能的是( )
A. 在装有1个红球和2个白球(除颜色外完全相同)的不透明袋子里随机摸出一个球是“白球”
B. 从一副扑克牌中任意抽取一张,这张牌是“红色的”
C. 掷一枚质地均匀的硬币,落地时结果是“正面朝上”
D. 掷一个质地均匀的正六面体骰子,落地时面朝上的点数是6
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