【题目】如图①,已知线段和直线
,用直尺和圆规在
上作出所有的点
,使得
,如图②,小明的作图方法如下:
第一步:分别以点,
为圆心,
长为半径作弧,两弧在
上方交于点
;
第二步:连接,
;
第三步:以为圆心,
长为半径作
,交
于
,
;
所以图中,
即为所求的点.
(1)在图②中,连接,
,说明
;
(方法迁移)
(2)如图③,用直尺和圆规在矩形内作出所有的点
,使得
(不写作法,保留作图痕迹).
(深入探究)
(3)已知矩形,
,
,
为
边上的点,若满足
的点
恰有两个,求
的取值范围.
(4)已知矩形,
,
,
为矩形
内一点,且
,若点
绕点
逆时针旋转
到点
,求
的最小值.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)2≤m<+1;(4)
.
【解析】
(1)先根据等边三角形得:∠AOB=60°,则根据圆周角定理可得:∠AP1B=30°;
(2)先作等腰直角三角形BEC、BFC,再作△EBC的外接圆,可得圆心角∠BOC=90°,则弧BC所对的圆周角都是45°;
(3)先确定⊙O,根据同弧所对的圆周角相等可得AD在四边形GEFH内部时符合条件;
(4)先确定⊙O,根据圆周角定理正确画出∠BPC=135°,利用勾股定理求OF的长,知道A、P、O在同一直线上时,AP最小,则PQ的值最小,求AE的长,即是AP的长,可得PQ的最小值.
解:(1)∵OA=OB=AB,
∴△OAB是等边三角形,
∴∠AOB=60°,
由题意得:∠AP1B=∠AOB=30°;
(2)如图,①以B、C为圆心,以BC为半径作圆,交AB、DC于E、F,
②作BC的中垂线,连接EC,交于O,
③以O为圆心,OE为半径作圆,
则弧EF上所有的点(不包括E、F两点)即为所求;
(3)如图④,同理作⊙O,
∵BE=BC=2,
∴CE=2,
∴⊙O的半径为,即OE=OG=
,
∵OG⊥EF,
∴EH=1,
∴OH=1,
∴GH=-1,
∴BE≤AB<MB,
∴2≤m<2+-1,即2≤m<
+1,
故答案为:2≤m<+1;
(4)如图⑤,构建⊙O,使∠COB=90°,在弧BC上取一点H,则∠CHB=45°
∴∠CPB=135°,
由旋转得:△APQ是等腰直角三角形,
∴PQ=AP,
∴PQ取最小值时,就是AP取最小值,
当P与E重合时,即A、P、O在同一直线上时,AP最小,则PQ的值最小,
在Rt△AFO中,AF=1,OF=3+1=4,
∴AO=,
∴AE==AP,
∴PQ=AP=
(
)=
.
故答案为:.
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【题目】某景区内有一块矩形油菜花田地(数据如图示,单位:m.)现在其中修建一条观花道(图中阴影部分)供游人赏花.设改造后剩余油菜花地所占面积为ym2.
(1)求y与x的函数表达式;
(2)若改造后观花道的面积为13m2,求x的值;
(3)若要求 0.5≤ x ≤1,求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值.
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【题目】有一个抛物线形的拱形桥洞,桥面离水面的距离为5.6米,桥洞离水面的最大高度为,跨度为
,如图所示,把它的图形放在直角坐标系中.
(1)求这条抛物线所对应的函数关系式.
(2)如图,在对称轴右边处,桥洞离桥面的高是多少?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线为正比例函数
的图象,点
的坐标为
,过点
作
轴的垂线交直线
于点
,以
为边作正方形
;过点
作直线
的垂线,垂足为
,交
轴于点
,以
为边作正方形
;过点
作
轴的垂线,垂足为
,交直线
于点
,以
为边作正方形
,…,按此规律操作下所得到的正方形
的面积是
A.B.
C.
D.
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【题目】如图,以为圆心,半径为2的圆与
轴交于
、
两点,与
轴交于
,
两点,点
为圆
上一动点,
于
,当点
在圆
的运动过程中,线段
的长度的最小值为__________.
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【题目】如图,在Rt中,∠ACB=90°,
,AC=4;D是BC的延长线上一个动点,∠EDA=∠B,AE//BC.
(1)找出图中的相似三角形,并加以证明;
(2)设,
,求
关于
的函数解析式,并写出函数的定义域;
(3)当为等腰三角形时,求AE的长.
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