Question

【题目】如图，在Rt中，∠ACB=90°，，AC=4；D是BC的延长线上一个动点，∠EDA=∠B，AE//BC.

（1）找出图中的相似三角形，并加以证明；

（2）设，，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；

（3）当为等腰三角形时，求AE的长.

Answer 1

【答案】（1）△ADE△DBA；（2）；（3）4或.

【解析】

（1）△ADE∽△DBA，理由为：由AE平行于BC，利用两直线平行内错角相等得到一组对角相等，再由已知的一对角相等，利用两组对应角相等的两三角形相似可得证；
（2）在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义表示出sinB，将AC及sinB的值代入，求出AB的长，进而利用勾股定理求出BC的长，由（1）得出的两三角形相似得出比例式，设CD=x，AE=y，由BD=BC+BD表示出BD，再由AC及CD的长，利用勾股定理表示出AD，将各自的值代入比例式，整理后即可得到y与x的关系式，并根据边CD大于0得到x大于0，即为函数的定义域；
（3）当△ADE为等腰三角形，分三种情况考虑：AE=AD；AE=DE；AD=DE，分别利用相似得比例及勾股定理即可求出AE的长．

(1)△ADE∽△DBA，理由为：

证明：∵AE∥BC，

∴∠EAD=∠ADB，

∵∠EDA=∠B，

∴△ADE∽△DBA；

(2)∵在Rt△ABC中,∠C=90°, ，AC=4，

∴，

∴，

∵△ADE∽△DBA，

∴，

设CD=x，AE=y，

则

∴

；

(3)分三种情况考虑：

当△ADE为等腰三角形，且AE=AD时，如图所示：

∵△ADE∽△DBA，

∴△DBA也为等腰三角形，即DB=DA，此时四边形ABDE为平行四边形，

设AE=AD=BD=a，则有CD=BDBC=a3，

在Rt△ACD中,根据勾股定理得：AD2=AC2+CD2,即a2=42+(x3)2，

解得：x=，

此时AE=；

当△ADE为等腰三角形，且AE=DE时，如图所示：

∵△ADE∽△DBA，

∴AD=AB=5，

在Rt△ACD中，AC=4，AD=5，

根据勾股定理得：CD=3，

故BD=BC+CD=3+3=6，

∴,即，

解得：AE=；

当△ADE为等腰三角形，且AD=DE时，如图所示：

∵△ADE∽△DBA，

∴BD=AB=5，

故CD=BDBC=53=2，

在Rt△ACD中，AC=4，CD=2，

根据勾股定理得：AD=，

∴,即，

解得：AE=4，

综上,AE的值为4或.