Question

【题目】在一元二次方程中，有著名的韦达定理:对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果方程有两个实数根x1，x2，那么x1+x2=，x1+x2= (说明:定理成立的条件△≥0).比如方程2x2-3x-1=0中，△=17，所以该方程有两个不等的实数解.记方程的两根为x1，x2，那么x1+x2=，x1+x2=.请阅读材料回答问题:

(1)已知方程x2-3x-2=0的两根为x1、x2，求下列各式的值:

①x12+x22；②；

(2)已知x1，x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根.

①是否存在实数k，使(2x1-x2)(x1-2x2)=成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由；

②求使-2的值为整数的实数k的整数值.

Answer 1

【答案】(1)①13；②-；(2)见解析;②k=-2或-3或-5.

【解析】

（1）用韦达定理写出x1+x2与x1x2的值，把（x1+x2）2进行完全平方公式变形求得①，通分求值求得②．
（2）先求出△＞0时，k的取值范围，用韦达定理写出用k表示x1+x2与x1x2的值．①直接把等式左边展开变形，代入x1+x2与x1x2的式子，即求出k．②化简式子得到k在分母的分式，根据式子的值为整数和k的取值范围确定k的值．

解：(1)∵x2-3x-2=0，△=(-3)2-4×(-2)=17＞0，∴x1+x2=3，x1x2=-2

①x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=32-2×(-2)=9+4=13；

②==-；

(2)∵方程有两个实数根，

∴△=(-4k)2-44k(k+1)＞0；

∴k＜0，x1+x2=1，x1x2=，

①∵(2x1-x2)(x1-2x2)=2x12-5x1x2+2x22=2(x12+2x1x2+x22)-9x1x2=2(x1+x2)2-9x1x2，

∴2-9=，

解得：k=，与k＜0矛盾；

∴不存在k的值，使(2x1-x2)(x1-2x2)=-成立．

②-2======.

∵-2=的值为整数，

∴k+1=±1或±2或±4，

又∵k＜0，

∴k=-2或-3或-5.