【题目】探究活动一:
如图1,某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时,在直线AB上的三点A(1,3)、B(2,5)、C(4,9),有kAB==2,kAC==2,发现kAB=kAC,兴趣小组提出猜想:若直线y=kx+b(k≠0)上任意两点坐标P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1≠x2),则kPQ=是定值.通过多次验证和查阅资料得知,猜想成立,kPQ是定值,并且是直线y=kx+b(k≠0)中的k,叫做这条直线的斜率.
请你应用以上规律直接写出过S(﹣2,﹣2)、T(4,2)两点的直线ST的斜率kST= .
探究活动二
数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题,得到正确结论:任意两条不和坐标轴平行的直线互相要直时,这两条直线的斜率之积是定值.
如图2,直线DE与直线DF垂直于点D,D(2,2),E(1,4),F(4,3).请求出直线DE与直线DF的斜率之积.
综合应用
如图3,⊙M为以点M为圆心,MN的长为半径的圆,M(1,2),N(4,5),请结合探究活动二的结论,求出过点N的⊙M的切线的解析式.
【答案】探究活动一:;探究活动二:﹣1;综合应用:y=﹣x+9.
【解析】
(1)直接利用公式计算即可;
(2)运用公式分别求出kDE和kDF的值,再计算kDE×kDF=﹣1;
(3)先求直线MN的斜率kMN,根据切线性质可知PQ⊥MN,可得直线PQ的斜率kPQ,待定系数法即可求得直线PQ解析式.
解:(1)∵S(﹣2,﹣2)、T(4,2)
∴kST==
故答案为:
(2)∵D(2,2),E(1,4),F(4,3).
∴kDE==﹣2,kDF==,
∴kDE×kDF=﹣2×=﹣1,
∴任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时,这两条直线的斜率之积等于﹣1.
(3)设经过点N与⊙M的直线为PQ,解析式为y=kPQx+b
∵M(1,2),N(4,5),
∴kMN==1,
∵PQ为⊙M的切线
∴PQ⊥MN
∴kPQ×kMN=﹣1,
∴kPQ=﹣1,
∵直线PQ经过点N(4,5),
∴5=﹣1×4+b,解得 b=9
∴直线PQ的解析式为y=﹣x+9.
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【题目】张华为体育测试做准备,每天爬家对面的翠山,张华从西坡沿坡角为35°的山坡爬了2000米,紧接着又爬了坡角为45°的山坡800米,最后到达山顶;请你计算翠山的高度.(结果精确到个位,参考数据:.
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【题目】在一元二次方程中,有著名的韦达定理:对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),如果方程有两个实数根x1,x2,那么x1+x2=,x1+x2= (说明:定理成立的条件△≥0).比如方程2x2-3x-1=0中,△=17,所以该方程有两个不等的实数解.记方程的两根为x1,x2,那么x1+x2=,x1+x2=.请阅读材料回答问题:
(1)已知方程x2-3x-2=0的两根为x1、x2,求下列各式的值:
①x12+x22;②;
(2)已知x1,x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根.
①是否存在实数k,使(2x1-x2)(x1-2x2)=成立?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由;
②求使-2的值为整数的实数k的整数值.
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【题目】2017年中秋节来期间,某超市以每盒80元的价格购进了1000盒月饼,第一周以每盒168元的价格销售了300盒,第二周如果单价不变,预计仍可售出300盒,该超市经理为了增加销量,决定降价,据调查,单价每降低1元,可多售出10盒,但最低每盒要赢利30元,第二周结束后,该超市将对剩余的月饼一次性赔钱甩卖,此时价格为70元/盒.
(1)若设第二周单价降低x元,则第二周的单价是 ______ ,销量是 ______ ;
(2)经两周后还剩余月饼 ______ 盒;
(3)若该超市想通过销售这批月饼获利51360元,那么第二周的单价应是多元?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象交坐标轴于A(﹣1,0),B(4,0),C(0,﹣4)三点,点P是直线BC下方抛物线上一动点.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)是否存在点P,使△POC是以OC为底边的等腰三角形?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由;
(3)动点P运动到什么位置时,△PBC面积最大,求出此时P点坐标和△PBC的最大面积.
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【题目】为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动,我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌,如下图.小明同学为测量宣传牌的高度,他站在距离教学楼底部处6米远的地面处,测得宣传牌的底部的仰角为,同时测得教学楼窗户处的仰角为(、、、在同一直线上).然后,小明沿坡度的斜坡从走到处,此时正好与地面平行.
(1)求点到直线的距离(结果保留根号);
(2)若小明在处又测得宣传牌顶部的仰角为,求宣传牌的高度(结果精确到0.1米,,).
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【题目】已知:如图,反比例函数的图象与一次函数的图象交于点、点.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)求的面积;
(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量的取值范围.
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFE=∠B.
(1)求证:△ADF∽△DEC;
(2)若AB=18,AD=,AF=,求AE的长.
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【题目】如图,二次函数的图象交轴于、两点,交轴于点,点的坐标为,顶点的坐标为.
(1)求二次函数的表达式和直线的表达式;
(2)点是直线上的一个动点,过点作轴的垂线,交抛物线于点,当点在第一象限时,求线段长度的最大值;
(3)在抛物线上存在异于、的点,使中边上的高为,请直接写出点的坐标.
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