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【题目】如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象交坐标轴于A(﹣1,0),B(4,0),C(0,﹣4)三点,点P是直线BC下方抛物线上一动点.

(1)求这个二次函数的解析式;

(2)是否存在点P,使POC是以OC为底边的等腰三角形?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由;

(3)动点P运动到什么位置时,PBC面积最大,求出此时P点坐标和PBC的最大面积.

【答案】(1)抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣4(2)存在满足条件的P点,其坐标为( ,﹣2)(3)P点坐标为(2,﹣6)时,PBC的最大面积为8.

【解析】

试题分析:(1)由A、B、C三点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;(2)由题意可知点P在线段OC的垂直平分线上,则可求得P点纵坐标,代入抛物线解析式可求得P点坐标;(3)过P作PEx轴,交x轴于点E,交直线BC于点F,用P点坐标可表示出PF的长,则可表示出PBC的面积,利用二次函数的性质可求得PBC面积的最大值及P点的坐标.

试题解析:(1)设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,

把A、B、C三点坐标代入可得,解得

抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣4;

(2)作OC的垂直平分线DP,交OC于点D,交BC下方抛物线于点P,如图1,

PO=PD,此时P点即为满足条件的点,C(0,﹣4),D(0,﹣2),P点纵坐标为﹣2,

代入抛物线解析式可得x2﹣3x﹣4=﹣2,解得x=(小于0,舍去)或x=

存在满足条件的P点,其坐标为(,﹣2);

(3)点P在抛物线上,可设P(t,t2﹣3t﹣4),

过P作PEx轴于点E,交直线BC于点F,如图2,

B(4,0),C(0,﹣4),直线BC解析式为y=x﹣4,F(t,t﹣4),

PF=(t﹣4)﹣(t2﹣3t﹣4)=﹣t2+4t,

SPBC=SPFC+SPFB=PFOE+PFBE=PF(OE+BE)=PFOB=(﹣t2+4t)×4=﹣2(t﹣2)2+8,当t=2时,SPBC最大值为8,此时t2﹣3t﹣4=﹣6,

当P点坐标为(2,﹣6)时,PBC的最大面积为8.

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想法1:要证PA=PM,只需证△APM是等边三角形.
想法2:在BA上取一点N,使得BN=BP,要证PA=PM,只需证△ANP≌△PCM.……
请你参考上面的想法,帮助小明证明PA=PM(一种方法即可).

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