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【题目】已知,在Rt中,,点是斜边的中点,,且于点,联结

1)求证:

2)当时,求的值;

3)在(2)的条件下,求的值.

【答案】1)见解析;(2SBEDSMED=13;(3cosABC=

【解析】

1)易证∠DME=CBA,∠ACB=MED=90°,从而可证明△MED∽△BCA

2)由∠ACB=90°,点M是斜边AB的中点,可知MB=MC=AM,从而可证明MD=CM=MB=AB,从而证得SAMC=SBNC=SABC,由SBDM=证得,从而证得SBEDSMED=13

3)由,得到,进一步得到,证得cosEMD=,由∠DME=CBA,证得cosABC=

解:(1)∵MDBC

∴∠DME=CBA

∵∠ACB=MED=90°,

∴△MED∽△BCA

2)∵∠ACB=90°,点M是斜边AB的中点,

MB=MC=AM=AB

MC=MD

MD=AB

SAMC=SBNC=SABC

∵△MED∽△BCA

=2=

SBDM=

SBEDSMED=13

3)∵

MD=MB

cosEMD=

∵∠DME=CBA

cosABC=

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x12+x22;②

(2)已知x1x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根.

①是否存在实数k,使(2x1-x2)(x1-2x2)=成立?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由;

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