【题目】已知,在Rt中,,点是斜边的中点,,且,于点,联结.
(1)求证: ;
(2)当时,求的值;
(3)在(2)的条件下,求的值.
【答案】(1)见解析;(2)S△BED:S△MED=1:3;(3)cos∠ABC=.
【解析】
(1)易证∠DME=∠CBA,∠ACB=∠MED=90°,从而可证明△MED∽△BCA;
(2)由∠ACB=90°,点M是斜边AB的中点,可知MB=MC=AM,从而可证明MD=CM=MB=AB,从而证得S△AMC=S△BNC=S△ABC,由S△BDM=证得,从而证得S△BED:S△MED=1:3;
(3)由,得到,进一步得到,证得cos∠EMD=,由∠DME=∠CBA,证得cos∠ABC=.
解:(1)∵MD∥BC,
∴∠DME=∠CBA,
∵∠ACB=∠MED=90°,
∴△MED∽△BCA,
(2)∵∠ACB=90°,点M是斜边AB的中点,
∴MB=MC=AM=AB,
∵MC=MD,
∴MD=AB,
∴S△AMC=S△BNC=S△ABC,
∵△MED∽△BCA,
∴=()2=,
∵S△BDM=,
∴,
∴S△BED:S△MED=1:3;
(3)∵,
∴,
∵MD=MB,
∴,
∴cos∠EMD=,
∵∠DME=∠CBA,
∴cos∠ABC=.
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【题目】已知:平行四边形,对角线点P为射线BC上一点,,(点M与点B分别在直线AP的两侧),且联结MD.
(1)当点M在内时,如图一,设求关于的函数解析式.
(2)请在图二中画出符合题意得示意图,并探究:图中是否存在与相似的三角形?若存在,请写出证明过程,若不存在,请说明理由
(3)当为等腰三角形时,求的长.
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【题目】已知反比例函数(>0)与一次函数的图像交于B,C两点,一次函数图像与y轴交于点A.
(1)当k=3,a+b=4时,
①求B,C两点的坐标;
②求△OBC的面积;
(2)当k=1时,设B、C两点坐标为 B(a,b)(a≥2)、C(c,d)(点B、C不重合).
①求ac的值;
②设△OAC面积为,求与b的函数关系式,并直接写出的最大值.
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【题目】随着生活水平的不断提高,越来越多的人选择到电影院观看电影,体验视觉盛宴,并且更多的人通过网上平台购票,既快捷又能享受更多优惠.某电影城2019年从网上购买张电影票的费用比现场购买张电影票的费用少元:从网上购买张电影票的费用和现场购买张电影票的费用共元.
(1)求该电影城2019年在网上购票和现场购票每张电影票的价格为多少元?
(2)2019年五一当天,该电影城按照2019年网上购票和现场购票的价格销售电影票,当天售出的总票数为张.五一假期过后,观影人数出现下降,于是电影城决定从5月5日开始调整票价:现场购票价格下调,网上购票价格不变,结果发现,现场购票每张电影票的价格每降低元,售出总票数就比五一当天增加张.经统计,5月5日售出的总票数中有的电影票通过网上售出,其余通过现场售出,且当天票房总收入为元,试求出5月5日当天现场购票每张电影票的价格为多少元?
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【题目】在一元二次方程中,有著名的韦达定理:对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),如果方程有两个实数根x1,x2,那么x1+x2=,x1+x2= (说明:定理成立的条件△≥0).比如方程2x2-3x-1=0中,△=17,所以该方程有两个不等的实数解.记方程的两根为x1,x2,那么x1+x2=,x1+x2=.请阅读材料回答问题:
(1)已知方程x2-3x-2=0的两根为x1、x2,求下列各式的值:
①x12+x22;②;
(2)已知x1,x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根.
①是否存在实数k,使(2x1-x2)(x1-2x2)=成立?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由;
②求使-2的值为整数的实数k的整数值.
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【题目】2017年中秋节来期间,某超市以每盒80元的价格购进了1000盒月饼,第一周以每盒168元的价格销售了300盒,第二周如果单价不变,预计仍可售出300盒,该超市经理为了增加销量,决定降价,据调查,单价每降低1元,可多售出10盒,但最低每盒要赢利30元,第二周结束后,该超市将对剩余的月饼一次性赔钱甩卖,此时价格为70元/盒.
(1)若设第二周单价降低x元,则第二周的单价是 ______ ,销量是 ______ ;
(2)经两周后还剩余月饼 ______ 盒;
(3)若该超市想通过销售这批月饼获利51360元,那么第二周的单价应是多元?
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【题目】为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动,我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌,如下图.小明同学为测量宣传牌的高度,他站在距离教学楼底部处6米远的地面处,测得宣传牌的底部的仰角为,同时测得教学楼窗户处的仰角为(、、、在同一直线上).然后,小明沿坡度的斜坡从走到处,此时正好与地面平行.
(1)求点到直线的距离(结果保留根号);
(2)若小明在处又测得宣传牌顶部的仰角为,求宣传牌的高度(结果精确到0.1米,,).
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【题目】在⊙O中,直径AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,点P在BC上,点Q在⊙O上,且OP⊥PQ.
(1)如图1,当PQ∥AB时,求PQ的长度;
(2)如图2,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值.
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