Question

【题目】已知：平行四边形，对角线点P为射线BC上一点，，（点M与点B分别在直线AP的两侧），且联结MD.

（1）当点M在内时，如图一，设求关于的函数解析式.

（2）请在图二中画出符合题意得示意图，并探究：图中是否存在与相似的三角形？若存在，请写出证明过程，若不存在，请说明理由

（3）当为等腰三角形时，求的长.

Answer 1

【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）7.5或3或27.

【解析】

（1）作AE⊥BC于E，先在Rt△ABC中运用勾股定理求出BC=15，再解Rt△ABE，得到AE=，BE=，然后在Rt△AEP中，利用勾股定理得AP2=PE2+AE2，即可求出y关于x的函数关系式；
（2）先由两角对应相等的两三角形相似证明出△APM∽△ACD，则AP：AC=AM：AD，即AP：AM=AC：AD，又由∠PAM=∠CAD，得出∠PAC=∠MAD，根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可得到△PAC∽△MAD；
（3）先由相似三角形的形状相同，由（2）得出△APC为等腰三角形，再分两种情况进行讨论：①点M在平行四边形内；②点M在平行四边形外；又分两种情况：（i）P在BC上，（ii）P在BC的延长线上．

解：（1）如图，作AE⊥BC于E，

在Rt△ABC中，∵AB=9，AC=12，

∴BC=15，

∵△ABE∽△CBA，

∴BE=，AE=

∵BP= ，∴PE=，

在Rt△AEP中，

∴

(2) 存在，，

∵∠PAM=∠CAD，∠APM=∠ACD=90°，
∴△APM∽△ACD，

∴

∴

∵，

∴∠PAC=∠MAD，

∴

（3）∵△PAC∽△MAD，

∴当△AMD为等腰三角形时，△APC也为等腰三角形，

①当点M在平行四边形内时，如图1．点P只能在EC上,
∵∠APC为钝角，
∴∠PAC=∠PCA，
∴PC=PA，
又∵∠PAB=90°-∠PAC，∠B=90°-∠PCA，
∴∠PAB=∠B，∴PA=PB，
∴PA=PB=PC=BC=，
即BP=7.5；
②当点M在平行四边形外时，
（i）若P在BC上，如图2．点P只能在BE上,
∵AP＜AC，AP＜PC，
∴CA=CP=12，则BP=15-12=3；
（ii）若P在BC的延长线上，如图3,
∵AP＞AC，AP＞PC，
∴CA=CP=12，则BP=15+12=27．
综上可知，当△AMD为等腰三角形时，BP的长为7.5或3或27．