【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,B点与C点是直线y=x﹣3与x轴、y轴的交点.D为线段AB上一点.
(1)求抛物线的解析式及A点坐标.
(2)若点D在线段OB上,过D点作x轴的垂线与抛物线交于点E,求出点E到直线BC的距离的最大值.
(3)D为线段AB上一点,连接CD,作点B关于CD的对称点B′,连接AB′、B′D
①当点B′落坐标轴上时,求点D的坐标.
②在点D的运动过程中,△AB′D的内角能否等于45°,若能,求此时点B′的坐标;若不能,请说明理由.
【答案】(1),A(﹣2,0);(2)E到BC的最大距离为;(3)①D1(0,0);D2(3,0);②B′坐标为(0,3)或(-3)或(,)或(﹣,).
【解析】
(1)求出B,C两点的坐标,代入抛物线解析式即可得出答案;
(2)设E点横坐标为m,则F(m,m3),过点E作EH⊥BC于点H,EF=yFyE=,利用二次函数的性质可求出E到直线BC的距离的最大值;
(3)①点B′在以C为圆心,CB为半径的圆C上.所以满足条件的B′有两个,分别位于y轴、x轴,结合对称的性质解答即可;
②分不同的情况进行讨论:
(Ⅰ)当点B′位于y轴上,易得点B′的坐标;
(Ⅱ)如图3,连接CB′,构造菱形DB′CB,根据菱形的性质求得B′(3,3);
(Ⅲ)∠B′AD=45°,如图4,连接CB′,过点B′分别作坐标轴的垂线,垂足为E、F,在直角△CFB′中,由勾股定理知m2+(5m)2=(3)2,解出m即可;
(Ⅳ)如图5,∠AB′D=45°,连接CB’,过点B′作y轴的垂线,垂足为点F,由轴对称性质可得当∠AB′D=45°时,点A在线段CB′上,结合勾股定理求得m的值,进而求得符合条件的点B′的坐标.
(1)∵B点与C点是直线y=x﹣3与x轴、y轴的交点.
∴B(3,0),C(0,﹣3),
∴,解得:,
∴抛物线的解析式为,
令y=0,则,
解得x1=﹣2,x2=3,
∴A(﹣2,0);
(2)设E点到直线BC的距离为d,E点横坐标为m,F(m,m﹣3),
∵B(3,0),C(0,﹣3),
∴∠OBC=45°,
如图1,过点E作EH⊥BC于点H,
则△EFH为等腰直角三角形,
∴EH=,
EF=yF﹣yE=m﹣3﹣(),
=(0≤m≤3),
=,
当时,EF的最大值为,
∴d=EF==.
即E到BC的最大距离为;
(3)①点B′在以C为圆心,CB为半径的圆C上;
(Ⅰ)当B′点落在x轴上时,D1(0,0);
(Ⅱ)当B′点落在y轴上时,如图2,CB′=CB=3,
∵∠OB′D=45°
∴OD=OB’=3﹣3,
∴;
②分别画出图形进行讨论求解:
(Ⅰ)∠B′DA=45°时,如图2,OB′=3﹣3,B′(0,3﹣3)
(Ⅱ)如图3,连接CB′,∠B′DA=∠CBD=45°,
∴DB′∥BC,可得四边形DB′CB是菱形,
B′(﹣3,﹣3).
(Ⅲ)∠B′AD=45°,如图4,连接CB′,过点B′分别作坐标轴的垂线,垂足为E、F,
设线段FB’的长为m,B′E=AE=2﹣m,可得CF=5﹣m,
在直角三角形CFB’中,m2+(5﹣m)2=(3)2,
解得m=,
故B′(),
(Ⅳ)如图5,∠AB′D=45°,连接CB’,过点B′作y轴的垂线,垂足为点F,
由轴对称性质可得,∠CB′D=∠CBD=45°,所以当∠AB′D=45°时,点A在线段CB′上,
∴,
设线段FB′的长为2m,FC=3m,(2m)2+(3m)2=,
解得:m=,B′,
综合以上可得B′坐标为(0,)或或()或.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,取EF的中点G,连接CG,BG,BD,DG,下列结论:
①BE=CD;
②∠DGF=135°;
③∠ABG+∠ADG=180°;
④若,则.
其中正确的结论是 .(填写所有正确结论的序号)
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【题目】如图,等边△ABC中,D在射线BA上,以CD为一边,向右上方作等边△EDC.若BC、CD的长为方程x2﹣15x+7m=0的两根,当m取符合题意的最大整数时,则不同位置的D点共有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】某厂设计了一款成本为20元∕件的公益用品投放市场进行试销.经过调查,得到如下数据:
销售单价x(元∕件) | … | 30 | 40 | 50 | 60 | … |
每天销售量y(件) | … | 500 | 400 | 300 | 200 | … |
(1)认真分析上表中的数据,用你所学过的函数知识确定一个满足这些数据的y与x的函数关系,并求出函数关系式.
(2)设该厂试销该公益品每天获得的利润为w元,当销售单价x定为多少时,w有最大值?最大利润是多少?
(3)当地民政部门规定,若该厂销售此公益品单价不低于成本价且不超过46元/件时,该厂每销售一件此公益品,国家就补贴该厂a元利润(a>4)。设日销售利润为m元,公司通过销售记录发现,m始终随销售单价x的增大而增大,求a的取值范围.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx过点B(1,﹣3),对称轴是直线x=2,且抛物线与x轴的正半轴交于点A.
(1)求抛物线的解析式,并根据图象直接写出当y≤0时,自变量x的取值范图;
(2)在第二象限内的抛物线上有一点P,当PA⊥BA时,求△PAB的面积.
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【题目】如图,PA、PB是⊙O的切线,切点分别是A、B,直线EF也是⊙O的切线,切点为Q,交PA、PB于点E、F,已知PA=12cm,∠P=40°
(1)求△PEF的周长.
(2)求∠EOF的度数.
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【题目】已知:平行四边形,对角线点P为射线BC上一点,,(点M与点B分别在直线AP的两侧),且联结MD.
(1)当点M在内时,如图一,设求关于的函数解析式.
(2)请在图二中画出符合题意得示意图,并探究:图中是否存在与相似的三角形?若存在,请写出证明过程,若不存在,请说明理由
(3)当为等腰三角形时,求的长.
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