Question

【题目】某厂设计了一款成本为20元∕件的公益用品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：

销售单价x（元∕件）	…	30	40	50	60	…
每天销售量y（件）	…	500	400	300	200	…

（1）认真分析上表中的数据，用你所学过的函数知识确定一个满足这些数据的y与x的函数关系，并求出函数关系式．

（2）设该厂试销该公益品每天获得的利润为w元，当销售单价x定为多少时，w有最大值？最大利润是多少？

（3）当地民政部门规定，若该厂销售此公益品单价不低于成本价且不超过46元/件时，该厂每销售一件此公益品，国家就补贴该厂a元利润（a＞4）。设日销售利润为m元，公司通过销售记录发现，m始终随销售单价x的增大而增大，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）y=-10x+800 （2）50元/件；9000元 （3）60≥a≥8

【解析】

（1）直接运用待定系数法根据统计表的数据就可以求出y与x之间的函数关系式；

（2）设工艺厂试销该公益用品每天获得的利润是W元，先表示出每件的利润为（x-20），再根据总利润=单价利润×销售总量建立等式即可得出结论；

（3）设总利润为m元，根据条件可以得出每件工艺用品的利润为（x-20+a）元，再根据总利润=销售总价-成本总价建立函数关系式即可.

解：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，根据统计表得，

解得：，故函数关系式是y=-10x+800；

（2）设工艺厂试销该公益用品每天获得的利润是W元，依题意得

W=（x-20）（-10x+800）=-10x2+1000x-16000=-10（x-50）2+9000

则当x=50时，W有最大值9000．

故当销售单价定为50元∕件时，工艺厂试销该公益用品每天获得的利润最大，最大利润是9000元．

（3）设日销售利润为m元，则每件工艺用品的利润为（x-20+a）元，由题意，得

∵，

∴抛物线的开口向下，在对称轴的左侧m随x的增大而增大，

∴时，m有最大值，

∵日销售利润m随销售单价x的增大而增大，且，

∴，解得，

又∵a＞4

∴．