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【题目】对于⊙P及一个矩形给出如下定义:如果⊙P上存在到此矩形四个顶点距离都相等的点,那么称⊙P是该矩形的“等距圆”.如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形ABCD的顶点A的坐标为(),顶点CDx轴上,且OC=OD.

(1)当⊙P的半径为4时,

①在P1),P2),P3)中可以成为矩形ABCD的“等距圆”的圆心的是

②如果点P在直线上,且⊙P是矩形ABCD的“等距圆”,求点P的坐标;

(2)已知点P轴上,且⊙P是矩形ABCD的“等距圆”,如果⊙P与直线AD没有公共点,直接写出点P的纵坐标m的取值范围.

【答案】(1) ;

(2)

【解析】分析:(1)①由点A的坐标为(,2),顶点C、Dx轴上,且OC=OD,可求得点B,C,D的坐标,继而可求得到此矩形四个顶点距离都相等的点E的坐标,然后由⊙P的半径为4,即可求得答案;

②首先设P的坐标为(x,-x+1),易得x2+(-x+1-1)2=42,继而求得答案;

(2)由题意可得|m-1|<,且|m-1|≠0,继而求得答案.

详解:(1)∵点A的坐标为(,2),顶点C、Dx轴上,且OC=OD,

∴点B的坐标为(-,2),点C的坐标为(-,0),点D的坐标为(,0),

∴矩形ABCD的中心E的坐标为(0,1),

当⊙P的半径为4时,

①若P1(0,-3),则PE=1+3=4,

P2(2,3),则PE==4,

P3(-2,1)则PE=

∴可以成为矩形ABCD等距圆的圆心的是:P1(0,-3),P2(2,3);

故答案为:P1(0,-3),P2(2,3).

②∵设P的坐标为(x,-x+1),

E为(0,1),

x2+(-x+1-1)2=42

解得:x=±2

x=2时,y=-×2+1=-1;

x=-2时,y=-×(-2)+1=3;

∴点P的坐标为(2,-1)或(-2,3);

(2)∵点Py上,且⊙P是矩形ABCD等距圆,且⊙P与直线AD没有公共点,

|m-1|<,且|m-1|≠0,

解得:1-<m<1+m≠1.

∴点P的纵坐标m的取值范围为:1-<m<1+m≠1.

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