Question

如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于B，CD切⊙O于D，交AB的延长线于E．若BC=6，EB=8，求EA．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：计算题

分析：连结OD，如图，根据切线的性质得∠CBA=90°，可根据勾股定理计算出CE=10，再根据切线的性质和切线长定理得CD=CB=6，OD⊥CE，则DE=CE-CD=4，然后证明Rt△EOD≌Rt△ECB，利用相似比可计算出OD=3，OE=5，所以AE=OE-OA=2．

解答：解：连结OD，如图，
∵BC切⊙O于B，
∴BC⊥AB，
∴∠CBA=90°，
在Rt△BCE中，∵BC=6，EB=8，
∴CE=

BC2+BE2

=10，
∵CE切⊙O于D，
∴CD=CB=6，OD⊥CE，
∴DE=CE-CD=4，
∵∠OEA=∠CEB，
∴Rt△EOD≌Rt△ECB，
∴

OD

BC

=

DE

BE

=

OE

CE

，即

OD

6

=

4

8

=

OE

10

，
∴OD=3，OE=5，
∴AE=OE-OA=5-3=2．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质．