Question

如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于C，OD⊥AB交AC于E，tan∠DEC=3，求sin∠D的值．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：计算题

分析：连结OC，如图，由OD⊥AB得∠AOE=90°，根据对顶角相等得∠DEC=∠AEO，则tan∠AEO=tan∠DEC=3，则在Rt△AOE中，利用正切的定义得tan∠AEO=

AO

EO

=3，于是可设AO=x，OA=3x，再根据切线的性质得∠OCD=90°，接着证明∠DCE=∠DEC得到DE=DC，然后在Rt△COD中利用勾股定理得到（3x）²+CD²=（x+CD）²，解得CD=4x，则OD=5x，最后利用正弦的定义求解．

解答：解：连结OC，如图，
∵OD⊥AB，
∴∠AOE=90°，
∵∠DEC=∠AEO，
∴tan∠AEO=tan∠DEC=3，
在Rt△AOE中，tan∠AEO=

AO

EO

=3，
设AO=x，则OA=3x，
∵CD切⊙O于C，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
即∠OCE+∠DCE=90°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠A，
而∠A+∠AEO=90°，
∴∠DCE=∠AEO，
∴∠DCE=∠DEC，
∴DE=DC，
在Rt△COD中，OC=3x，OD=x+DE=x+DC，
∵OC²+CD²=OD²，
∴（3x）²+CD²=（x+CD）²，解得CD=4x，
∴OD=5x，
∴sinD=

OC

OD

=

3x

5x

=

3

5

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了等腰三角形的判定与勾股定理．