Question

如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于D，CF⊥AB于F，若tan∠A=2，求sin∠DCF的值．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：连接DO并延长交CF的延长线于E，过D作DG⊥AB于G，根据切线的性质求得ED⊥DC，进而求得∠AOD=∠DCF，根据已知设AG=x，则GD=2x，设OA=OD=y，则OG=（y-x），在RT△OGD中，根据勾股定理得：OG²+GD²=OD²，即（y-x）²+（2x）²=y²，解得y=

5

2

x，解直角三角函数即可求得sin∠DCF的值．

解答：解：连接DO并延长交CF的延长线于E，过D作DG⊥AB于G，
∵CD切⊙O于D，
∴ED⊥DC，
∵CF⊥AB，
∴∠EFO=∠EDC=90°，
∴∠EOF=∠DCF，
∵∠AOD=∠EOF，
∴∠AOD=∠DCF，
∵tan∠A=2，
∴

GD

AG

=2，
∴GD=2AG，
设AG=x，则GD=2x，
设OA=OD=y，则OG=（y-x），
在RT△OGD中，根据勾股定理得：OG²+GD²=OD²，
即（y-x）²+（2x）²=y²，解得y=

5

2

x，
∴sin∠DCF=sin∠GOD=

GD

OD

=

2x

5 2 x

=

4

5

．

点评：本题考查了切线的性质，勾股定理的应用，解直角三角函数，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．