Question

如图，△ABC是等边三角形，△BDC是等腰直角三角形，∠BDC=90°，连接AD，以AD为边作等边△ADE，连接CE．
（1）求证：△CDE为等腰三角形；
（2）求∠AEC的度数．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）证明△ABD≌△ACE，得到BD=CE，结合BD=CD，即可解决问题．
（2）证明△ABD≌△ACD，得到∠BAD=∠CAD=30°；求出∠ABD=15°，运用三角形的内角和定理即可解决问题．

解答：解：（1）如图，∵△ABC、△ADE均为等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=AC，AD=AE；
∴∠BAD=∠CAE；
在△ABD与△ACE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，而BD=CD，
∴CD=CE，△CDE为等腰三角形．
（2）在△ABD与△ACD中，

AB=AC AD=AD DB=DC

，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD=∠CAD=30°；
∵△BDC是等腰直角三角形，
∴∠DBC=45°，∠ABD=60°-45°=15°，
∴∠ADB=180°-30°-15°=135°；
∵△ABD≌△ACE，
∴∠AEC=∠ADB=135°．

点评：该题以等边三角形为载体，以全等三角形的判定及其性质的应用为核心构造而成；对综合的分析问题解决问题的能力提出了一定的要求．