Question

15．已知抛物线y=ax²-2anx+an²+n+3的顶点P在一条定直线l上．
（1）直接写出直线l的解析式；
（2）对于任意非零实数a，存在确定的n的值，使抛物线与x轴有唯一的公共点，求此时n的值；
（3）当点P在x轴上时，抛物线与直线l的另一个交点Q，过点Q作x轴的平行线，交抛物线于点A，过点Q作y轴的平行线，交x轴于点B，求$\frac{AQ}{BQ}$的值或取值范围．

Answer 1

分析 （1）先把抛物线解析式化成顶点式，确定出顶点坐标，即可得出结论；
（2）令抛物线中的y=0用一元二次方程根的判别式即可得出结论；
（3）先确定出n的值，进而得出点Q的坐标，即可确定出点A，B坐标，最后确定出AQ，BQ，即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²-2anx+an²+n+3=a（x-n）²+（n+3），
∴抛物线P（n，n+3），
∵顶点P在一条定直线l上，
令n=x，n+3=y，
∴y=x+3，
即：直线l的解析式为y=x+3，
（2）抛物线与x轴有唯一的公共点，
令y=0，即：ax²-2anx+an²+n+3=0，
∴△=（-2an）²-4a×（an²+n+3）=-4a（n+3）=0，
∵任意非零实数a，
∴n+3=0，
∴n=-3，
∴抛物线与x轴有唯一的公共点，此时n的值为-3，
（3）由（1）知，P（n，n+3），
∵点P在x轴上，
∴n+3=0，
∴n=-3，
∴抛物线y=a（x+3）²，①
∵直线l的解析式为y=x+3②，
联立①②得Q（-3+$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{a}$），
∵过点Q作y轴的平行线，交x轴于点B，
∴BQ=|$\frac{1}{a}$|，
∵过点Q作x轴的平行线，交抛物线于点A，
∴a（x+3）²=$\frac{1}{a}$，
∴x=-3±$\frac{1}{a}$，
∴A（-3-$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{a}$），
∵Q（-3+$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{a}$），
∴AQ=|-3+$\frac{1}{a}$-（-3-$\frac{1}{a}$）|=|$\frac{2}{a}$|
∴$\frac{AQ}{BQ}=\frac{|\frac{2}{a}|}{|\frac{1}{a}|}$=2．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了配方法，抛物线的顶点坐标的确定，二次函数和一元二次方程的关系，根的判别式，函数图象的交点坐标，解本题的关键是确定出n的值．