Question

在△ABC中，∠C=90°，G是内心，BG与AC交于D，过D作DE∥AG与BC交BC于E，直线EG与AB交于F，求证：DF⊥AG．

Answer 1

考点：四点共圆,平行线的性质,线段垂直平分线的性质,等腰三角形的性质,圆周角定理,圆内接四边形的性质,三角形的内切圆与内心

专题：证明题

分析：连接CG，易得∠AGD=∠BAG+∠ABG=45°，从而可得∠AGD=∠GDE=∠GCE=45°，由此可得G、D、C、E四点共圆，根据圆内接四边形的性质可得∠BGE=∠DCE=90°，根据圆周角定理可得∠GED=∠GCD=45°，易证∠BFG=∠BEG，则有BE=BF，根据等腰三角形的性质可得FG=GE，然后根据垂直平分线的性质可得DE=DF，从而可得∠EDF=90°，根据AG∥DE就可证到DF⊥AG．

解答：证明：连接CG，如图．
∵G是△ABC内心，
∴∠ACG=∠GCB=

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2

∠ACB=45°，∠BAG=

1

2

∠CAB，∠ABG=

1

2

∠ABC．
∵∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°，
∴∠BAG+∠ABG=

1

2

∠CAB+

1

2

∠ABC=45°，
∴∠AGD=∠BAG+∠ABG=45°．
∵DE∥AG，
∴∠GDE=∠AGD=45°，
∴∠GDE=∠GCE=45°，
∴G、D、C、E四点共圆，
∴∠GED=∠GCD=45°，∠BGE=∠DCE=90°，
∴∠BFG=90°-∠FBG=90°-∠EBG=∠BEG，
∴BE=BF．
又∵BG⊥EF，
∴FG=GE．
∵BG⊥EF，FG=GE，
∴BD垂直平分EF，
∴DE=DF，
∴∠DFE=∠DEF=45°，
∴∠FDE=90°，即DF⊥DE，
∵AG∥DE，
∴DF⊥AG．

点评：本题主要考查了四点共圆的判定、三角形的内心、平行线的性质、圆内接四边形的性质、圆周角定理、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，综合性强，证到G、D、C、E四点共圆是解决本题的关键．