Question

12．正方形ABCD中，F为DC中点，E为BC上一点，且EC=$\frac{1}{4}$BC．
（1）若设EC=x，请用x表示EF²=5x²，AF²=20x²．
（2）猜测∠EFA的度数，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质可知AB=BC=CD=DE，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，在应用勾股定理即可用x表示EF²与AF²值．
（ 2 ）应用勾股定理的逆定理加以说明即可．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DE，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，
数又F为DC中点，E为BC上一点，且EC=$\frac{1}{4}$BC，
∴若设EC=x，BC=4x，CF=2x，
∴由勾股定理得：
EF²=x²+（2x）²=5x²，AF²=（4x）²+（2x）²=20x²．
故答案为：5x²；20x²
（2）猜测：∠EFA=90°，理由如下：
∵由勾股定理得：AE²=（4x）²+（3x）²=25x²
∴AE²=EF²+AF²
∴△AEF是直角三角形，且∠EFA=90°

点评 本题考查了正方形的性质与勾股定理及逆定理的应用问题，解题的关键是掌握正方形的性质与勾股定理的综合应用方法．