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【题目】如图,在正方形ABCD中,过B作一直线与CD相交于点E,过AAF垂直BE于点F,过CCG垂直BE于点G,在FA上截取FH=FB,再过HHP垂直AFABP.若CG=3.则△CGE与四边形BFHP的面积之和为 _________ 

【答案】9.

【解析】

试题由ABCD为正方形,根据正方形的性质得到AB=BC∠ABC=90°,即∠CBG+∠ABF=90°,又根据CGBE垂直得到∠BCG+∠CBG=90°,根据同角的余角相等得到一对角相等,又根据一对直角相等,利用“AAS”即可得到三角形BCG与三角形FBA全等,根据全等三角形的对应边相等得到AFBG相等,又因为FH=FB,从而得到AH=FG,然后由垂直得到一对直角相等,加上一个公共角,得到三角形APH与三角形ABF相似,根据相似得比例,设AH=FG=x,用x表示出PH,由四边形PHFB一组对边平行,另一组对边不平行得到此四边形为梯形,根据梯形的面积公式,由上底PH,下底为BF=3,高FH=3,表示出梯形的面积;然后在三角形BCG与三角形ECG中,根据同角的余角相等,再加上一对直角得到两三角形相似,根据相似得比例,用含x的式子表示出GE,由CG=3,利用表示出的GE,利用三角形的面积公式表示出直角三角形CGE的面积,把表示出的两面积相加,化简即可得到值.

试题解析:四边形ABCD为正方形,

∴AB=BC∠ABC=90°,即∠CBG+∠ABF=90°

CG⊥BE,即∠BGC=90°

∴∠BCG+∠CBG=90°

∴∠ABF=∠BCG

AF⊥BG

∴∠AFB=∠BGC=90°

∴△ABF≌△BCG

∴AF=BGBF=CG=FH=3

∵FH=BF

∴AH=FG,设AH=FG=x

∵PH⊥AFBF⊥AF

∴∠AHP=∠AFB=90°,又∠PAH为公共角,

∴△APH∽△ABF

,即PH=

∵FH∥BFBP不平行FH

四边形BFHP为梯形,其面积为

∵∠BCG+∠ECG=90°∠ECG+∠BEC=90°

∴∠BCG=∠BEC,又∠BGC=∠CGE=90°

∴△BCG∽△CEG

,即GE=

Rt△CGE的面积为×3×

△CGE与四边形BFHP的面积之和为

考点: 1.正方形的判定与性质;2.全等三角形的判定与性质.

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∴∠2=CAB=50°.(

AD是∠CAB的角平分线,

∴∠1=5=CAB=25°,(

∵∠3=1,(已知)

∴∠3=25°,(等量代换)

∴∠3=5,(等量代换)

_______.(

CDAB,(

_______.(两直线平行,同位角相等)

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