Question

9．如图，△ABC中，AB=41，BC=15，CA=52，AM平分∠BAC，点D、E分别为AM、AB上的动点，则BD+DE的最小值是9．

Answer 1

分析 过B点作BF⊥AC于点F，BF与AM交于D点，根据三角形两边之和大于第三边，可知BD+DE的最小值是线段BF的长，根据勾股定理列出方程组即可求解．

解答 解：过B点作BF⊥AC于点F，BF与AM交于D点．
设AF=x，则CF=52-x，依题意有
$\left\{\begin{array}{l}{B{F}^{2}+{x}^{2}=4{1}^{2}}\\{B{F}^{2}+（52-x）^{2}=1{5}^{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=40}\\{BF=9}\end{array}\right.$，（负值舍去）．
故BD+DE的最小值是9．
故答案为：9．

点评 本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理和解方程组，理解BD+DE的最小值是AC边的高的长是解题的难点．